数学の問題一覧

問題文

$13$ の倍数である $9$ 桁の正整数であって，上 $3$ 桁の整数も上 $6$ 桁の整数も $13$ の倍数であるようなものはいくつありますか？

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$n$ を $3$ 以上の奇数とします．いま，円に内接する凸 $n$ 角形 $P_1P_2\dots P_n$ があり，$k=1,2,\dots,n$ について角 $P_k$ の大きさを ${a_k}^{\circ}$ としたところ，

$$\sum_{k=1}^{\frac{n-1}{2}}a_{2k}=7777$$

が成立しました．このとき，度数法での角 $P_1P_2P_n$ の大きさとして考えられる値の総和を解答してください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$2$ 以上の整数 $n$ のうち，次の条件を満たすものはいくつありますか？

• $n$ の $k$ 個の正の約数を小さい順に $d_1,d_2,\dots,d_k$ としたとき，任意の $1$ 以上 $k-1$ 以下の整数 $i$ について $d_{i+1}-d_i\leq40$ が成立する．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ について，重心を $G$ ，線分 $AB$ の中点を $M$ ，線分 $AC$ の中点を $N$ とし，直線 $AG,MN$ の交点を $P$ としたとき，四角形 $BGPM$ の面積が $2025$ となりました．三角形 $ABC$ の面積を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$26$ 種類あるアルファベットの大文字からなる文字列に対し，次のようにして整数を対応付けます．

• $k$ 文字の文字列を考える．$1\leq i\leq k$ なる整数 $i$ について $i$ 文字目が $a_i$ 番目のアルファベットの大文字であるとき，$a_1,a_2,\dots,a_k$ を続けて書く．

例えば，文字列 $CAT$ は，$C$ が $3$ 番目，$A$ が $1$ 番目，$T$ が $20$ 番目のアルファベットの大文字であるから $3120$ となります．このように，ある文字列に対応付けられる整数は一意に定まります．
いま，ある文字列に対応付く整数が $12012311821$ となりました．元の文字列として考えられるものはいくつありますか？

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で入力してください．

問題文

ある正の実数 $k$ があり，$x$ についての $4$ 次多項式 $f(x)$ を

$$f(x)=x^4+4kx^3+3kx^2+2kx+k$$

と定めます．方程式 $f(x)=0$ は相異なる $4$ 個の複素数解を持ったのでそれらを $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ とし，さらに $x$ についての $4$ 次多項式 $g(x)$ を，$4$ 次の項の係数が $1$ であり，かつ方程式 $g(x)=0$ が $4$ 個の複素数解 $\dfrac{1}{\alpha},\dfrac{1}{\beta},\dfrac{1}{\gamma},\dfrac{1}{\delta}$ を持つように定めます．
$g(6)=2025$ であるとき，$k$ の値を求めてください．

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

問題文

$1000$ の正の約数の集合を $D$ とします．また，$999$ 次方程式

$$x^{999}+x^{998}+\dots+x+1=0$$

の $999$ 個の複素数解を $x_1,x_2,\dots,x_{999}$ とします．このとき，

$$\sum_{d\in D}^{}\sum_{s=1}^{999} x_s^d$$

の値を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$x,y$を整数、$p$を素数とする。
$x^2-xy+y^2=2^p$を満たす組$(x,y,p)$をすべて求めよ。

解答形式

$x+y+p$の値としてありうる値の総和を半角数字で入力してください。

問題文

$2025 \times 2025$ のマス目があり、右から $m$ 列目、上から $n$ 行目のマスを $(m,n)$ と表します。
いま、$(1,1)$ に東くんがおり、辺を共有するマスを通って最短距離で $(2025,2025)$ まで移動します。
このとき、以下を満たすような移動方法は $M$ 通りあります。$M$ は $2$ で何回割り切れますか？

$$i と j がともに偶数であるようなマス (i,j) を一つも通らない$$

解答形式

半角数字で解答してください

問題文

複素数$\alpha,\beta,\gamma$が
$$\begin{cases}
\alpha+\beta+\gamma=9\\
\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=25\\
\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=2025
\end{cases}$$
を満たしています。このとき、$f(x)=0$ が $\alpha,\beta,\gamma $を解に持ち、かつ最高次係数が $1$ であるような $3$ 次関数 $f(x)$ が一意に存在するので、$❘f(2)❘$ を求めてください。

解答形式

解答は正の整数値になるので、その値を解答してください

問題文

$a,b$ を $a \le b$ を満たす正の整数とします。
$2025\times 2026$ のマス目があります。ここに $a\times b$ のタイルを何枚か置くことでマス目を隙間なく敷き詰めることが出来ました。
このような $(a,b)$ の組はいくつありますか？

追記 タイルは回転してかまいません。

解答形式

半角数字で解答してください

問題文

$$9^a=2^b+5^c$$
を満たす非負整数の組 $(a,b,c)$ を全て求めてください。

解答形式

$(a,b,c)$ としてありうる組すべてについて、$a+b+c$ の総和を解答してください