簡単めな幾何問題

問題文

一辺の長さが１である正方形を $n$ 個、頂点が合うように辺同士でつなげてできる図形を $n$-オミノ とする。ただし、$n=1$ の場合は１つの正方形である。また、$n$-オミノが多角形をなすとき（$n$-オミノで囲まれた領域が存在しないとき）、これを $n$-オミノ多角形 とする。

$\rm{S_n}$が$n$-オミノ多角形であるとき、$\rm{S_n}$の辺の数が2024となるような $n$ の最小値を求めよ。

解答形式

答えは整数となるので、半角で入力してください。

問題文

4x4のマス目のうち、0個以上のマスを選んで1つずつ地雷を置き、すべてのマスに周囲8マス(自身を含まない)の地雷の数を書きます。
地雷を置くすべてのパターンにおいて書かれている数字の総和を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

$自然数Xについて、Xの各位の数字を足し合わせた値をk(X)とおく。$
$4桁の自然数A,Bにおいて$$$
\begin{eqnarray}
\frac{k(A)}{k(B)}=\frac{A}{B}=n
\end{eqnarray}
$$$ (nは2以上の整数)$
$のとき、Aの取りうる値は何個あるか。$
半角数字のみで答えよ

問題文

4x4のマス目を1x2のタイル8枚で敷き詰める方法は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

4x4のマス目を境界線で区切り、14分割する方法は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください。

$
f(x,n)=x^{2^{n＋1}}-x^{2^{n}}とおく。
$
$
f(a,b) と f(c,d) の最大公約数として
考えられるものの最小値を求めよ。
$
$
ただし、a,b,c,dはいずれも2以上の自然数で、a\neq b \neq c \neq d とする。
$

問題文

四角形 $ABCD$ について，線分 $BD$ 上に点 $E$ を取ると，$AE=BD$ で，角 $EAD=$ 角 $AED=$ 角 $EBC=$ 角 $BCE=40°$ が成り立ちました．このとき角 $BDC$ は何度ですか？

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

4x4のマスのうち1個以上に、対角線を1本ずつ引いたとき、全ての対角線がループの一部分であるものは何通りですか?
但し、「ループの一部分である」とは、
全ての対角線の端が、ちょうど1つの別の対角線の端と同位置にあることを意味します。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

34人の生徒を3人の班と4人の班に分けたところ、4人の班は3人の班より5つ多くできた。3人の班の数と、4人の班の数をそれぞれ求めなさい

解答形式

半角で、3人の班=Xで答えるものとする

問題文

$\triangle ABC$において$AC$,$AB$の中点をそれぞれ$M$,$N$とし, 線分$BM$,$CN$上(端点を除く)にそれぞれ点$D$,$E$をとります. 直線$AD$,$AE$と線分$BC$の交点をそれぞれ$P$,$Q$としたとき,$$\frac{AP･PD}{PB}=MN-PC$$$$\frac{AQ･QE}{QC}=MN-QB$$が成立しました. $∠ADB=101°$,$∠BEN=62°$,$∠DCB=41°$のとき, $∠AED$の角度を度数法で解答してください.

解答形式

半角数字で入力してください.

問題文

$1$ 以上 $12$ 以下の整数からなる集合を $U$ とし，空でない $U$ の部分集合 $S, T$ を
$$S \cup T = U，S \cap T = \phi$$となるよう定めたところ，$S$ の元の和と $T$ の元の平方和が等しくなりました．このような集合の組 $(S, T)$ すべてに対する「$S$ の元の和」の総和を解答して下さい．

たとえば，
$$S = \{1, 2, ..., 9\}，T = \{10, 11, 12\}$$であるなら，$S$ の元の和は $1 + 2 + \cdots + 9 = 45$ と計算され，$T$ の元の平方和は $10^2 + 11^2 + 12^2 = 365$ と計算されます．

解答形式

半角英数にし、答えとなる正整数値を入力し解答して下さい．

問題文

$8\times 8$のマス目に$1\times 2$のタイルと$1\times 1$のタイルを隙間なく並べる方法のうち，以下の条件を満たすものを考えます．

• どの行にも$1\times 1$のタイルがちょうど$1$つ含まれる．

このような並べ方のうち，横向きの$1\times 2$のタイルの個数が最大となるものは何通りありますか？
ただし，回転や裏返しによって一致する並べ方は区別します．また，$1\times 2$のタイルが横向きであるとは，長辺が行に平行であることを指します．

解答形式

半角数字で入力してください．