数学の問題一覧

問題文

一辺が$1$の正方形$ABCD$の頂点$A$から、動点$P$を$0 \leqq \angle\mathrm{DAE} \leqq π/2$となる辺$BC,CD$上の点$E$へ向かって直進させることを考える。いずれかの辺に触れたときは入射角と反射角が等しくなるように反射させ、頂点に触れたときは入射角を$π/2$として考える。
このとき点$P$が$2$進んだ後の点の軌跡で囲まれた領域の面積$S$を求めよ。

解答形式

$S$は$a/b$の形で表されるため、$b$を有理化した既約分数で回答すること。
$a=2√2-1,b=√2$の場合は、「$4-√2/2$」と回答する。

問題文

$\lim\limits_{n\to\infty} n\sin\frac{2π}{n} = mπ$ である。
$m$の値を求めよ。

解答形式

$m$は2つの実数$a,b$を使って $\frac{a}{b}$と表せる。
$m$を分母が有理化された既約分数の形にした時の$a+b$を解答すること。

三角形 $ABC$ について, 内心を $I$ , $A$ に関する傍心を $I_A$ , $\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$ , 三角形 $ABC$ の外接円上の点であって, 点 $A$ を含まない方の弧 $BC$ の中点を $M$ とします.

$AM=27,MI_A=8$ のとき, $ID$ の長さを求めてください. ただし, 答えは有理数となるため, 既約分数 $a/b$ と書いたときの $a+b$ を答えてください.

問題文

2022^2022を10で割った余り。

解答形式

どうやってといたかもかいてね。
ひらがなでいいよ。
これはさんすうだからね。

問題文

三角形$ABC$において，$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし，垂心を$H$とします.三角形$DEF$の外接円と三角形$HBC$の外接円の交点を$P,Q$とし，$EF$の中点を$M$とします.直線$HM$と直線$PQ$の交点を$R$とすると，$DR$は$AB$の中点を通り，$BC$の中点を$N$とすると，$$ND＝2　CE＝5$$が成立しました.このとき，$AB$の長さの二乗は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表せるので，$a +b$の値を解答して下さい.

解答形式

半角で解答して下さい.

問題文

$\alpha$が$\tan\alpha= \frac{1}{\sqrt{2}}$($0<\alpha< \frac{π}{2}$)を満たす定数であるとき、定積分$ \frac{1}{π}\int_{\alpha}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{3}θ+\tanθ}{\tan^{4}θ-\tan^{2}θ+1}dθ $の値を求めよ。

解答形式

分母を有理化すると自然数$a,b$を用いて$ \frac{\sqrt{a}}{b}$と表されるので、$a+b$の値を半角入力の数字のみで答えてください。

63999271を素因数分解した時に出てくる素因数全ての和を求めなさい。

例:35の時
　5+7=12と解答。

問題文

正三角形 $ABC$ の内部を以下のように歩く移動するペンギンがいる．

・ 常に直進するが，辺（頂点を除く）にぶつかった場合は，辺に対して今移動してきた直線と対称な直線へ方向転換する．頂点についた場合，その時点で歩行をやめる．

また，$0\leq p \leq 1$を満たす実数 $p$ に対して，$f(p)$を以下のように定める．

・$f(p)$は，$AC$ を $p:1-p$ に内分する点を $D$ とし，このペンギンがはじめ $B$ にいて、$D$ に向かって直進したときの，ペンギンの歩行が止まるまでに辺（頂点を除く）にぶつかった回数

正整数 $n$ に対して，$f(p)=n$ を満たす $p$ の総和が $9$ であったとき，$n$ としてありうる値の総積を求めてください．

解答形式

非負整数を半角英数字で解答してください．

問題文

$AB=AC=19,CE=DE=22$ である直角二等辺三角形 $ABC,CDE$ を $B,C,D$ がこの順に一直線上に並び、$A,E$ が $BD$ に関し同じ側にあるように置く。$CD$ の中点を$M$、$AM$ と $BE$ の交点を $P$ ,直線 $PC$ と $\triangle BMP$ の外接円の交点を $Q(\neq P)$ としたとき、$BQ^2$ を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$ \pi$ ナポゥくんの生まれた日からの日数を $N$ とします.
$ \pi$ ナポゥくんは既に $3$ 歳の誕生日を迎えていますが，$28$ 歳の誕生日は迎えていません．
$N$ の各桁の総和が $22$ であるとき、$N$ として考えられる正整数はいくつありますか．

解答形式

半角英数字で解答してください．

問題文

ある一の位も百の位も $0$ でない $3$ 桁の正整数を $x$ として， $x$ を十進法で逆から読んだ数を $X$ とおきます．
例えば， $x=314$ のとき $X=413$ です．
$x+X$ の下 $2$ 桁が $57$ のとき， $x$ としてあり得る値の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください

問題文

この問題は、Prime Prime Prime (Easy)と一部分一致しているため、相違点を赤色で強調しています。

また、必要とされる素数表の大きさがOMCに乗っているものよりも大きいため、この問題に限り、外部の素数表の閲覧を許可します。

$n$ 桁の素数であって，すべての $i,j$ $ (1 \le i $ ＜  $ j \le n)$ において， $i$ 桁目から $j$ 桁目までが素数である数のうち，最大のものを答えてください．
例えば， $23$ は $23(i=1,j=2)$ が全て素数なので条件を満たします．

解答形式

半角数字で解答してください．