公開日時: 2020年11月28日19:32 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 中学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
図のように長方形や直角三角形の内接円が配置されています。青で示した角の角度を求めてください。
度数法で求め、半角数字で0以上360未満の整数を解答してください。
※度や°などの単位は付けないでください。
公開日時: 2020年11月21日19:25 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 中学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
図のように正方形・半円が配置されています。正方形の一辺の長さが2であるとき、青で示した部分の面積(の合計)を求めてください。
半角数字で解答してください。
公開日時: 2020年11月14日21:13 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 中学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
図のように黒・赤・青の正方形と、その外接円が配置されています。黒い正方形の一辺の長さが2であるとき、緑で示した線分の長さを求めてください。
半角数字で解答してください。
公開日時: 2020年11月8日17:36 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 中学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
※2020.11.10 18:49 問題タイトルを修正しました。
(解答に影響はありません)
図中の線分ABの長さを求めてください。
緑で示した2つの三角形の面積の差は11,赤と青で示した線分の長さの差は1です。
半角数字で解答してください。
公開日時: 2020年11月6日18:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 大学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
$n$ を自然数とする。置換 $\sigma\in \mathfrak{S}_n$ に対して,$\sigma$ の近道度 $m(\sigma)$ を次のように定義する。
例えば $\sigma=(1 4 2)(5 6 7)(3)\in \mathfrak{S}_7$ なら,$\sigma$ は長さ $3, 3, 1$ の巡回置換からなるから,$\sigma$ の近道度 $m(\sigma)$ は
$$
m(\sigma)=\frac{1}{3\cdot 3\cdot 1}=\frac{1}{9}
$$
である。自然数 $n$ に対して,${1,\cdots, n}$ の置換(これは $n!$ 通りある)の近道度の平均を
$$
f_n=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} m(\sigma)
$$
とおく。
$$
f_1=1, \; f_2=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}, \; f_4=\frac{\fbox{ウエオ}}{\fbox{カキク}}
$$
であり,
$$
\sum_{n=0}^{\infty} f_n=\fbox{X}
$$
である(級数が収束することは証明なしに認めてよい)。ただし $f_0=1$ と約束する。
※ $\mathfrak{S}_n$ は $n$ 次対称群を表す(19:03追記)。
$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{ク}$ には 0 - 9
の数字が当てはまります。$\fbox{ X }$にはある実数が当てはまります。空欄のある分数はすべて既約です。
9.9
と解答してください。公開日時: 2020年11月6日18:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
$k>0$ を整数の定数とする。以下の条件
$$
{\rm AB}=8, {\rm AC}=k, \angle {\rm ABC}=60^{\circ}
$$
を満たす三角形 ${\rm ABC}$ が存在するような整数 $k$ の最小値は $\fbox{\text{ア}}$ である。
また,条件を満たす三角形 ${\rm ABC}$ が一意的に存在するような整数 $k$ の最小値は $\fbox{イ}$ である。
ただし,互いに合同であるような $2$ つの三角形は区別しない。
空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{イ}$ には,半角数字 0
- 9
のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{イ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。
公開日時: 2020年11月6日18:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 大学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
$f:{\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R}$ は微分可能で、任意の $x,y \in {\mathbb R}$ に対して
$$
f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy+1)
$$
を満たすとする。以下の空欄を埋めよ。
⑴ $f(0)=\fbox{アイ}$ または $f(0)=\fbox{ウ}$ が成り立つ。また、$f(0)=\fbox{アイ}$ のとき $f(1)=\fbox{エ}$ で、このとき $x \in {\mathbb R}$ を固定するごとに極限
$$
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
$$
を考えるとロピタルの定理の仮定をすべて満たしていることがわかる。よって同定理を用いて $f$ が満たす微分方程式を導くことができる。
⑵ $f$ が満たす微分方程式を解くことで、$f$ をすべて決定できる。特に $f(23)$ がとり得る値は $\fbox{オ}$ 通りあり、それらの値の総和は $\fbox{カキク}$ である。
ア〜クには、0から9までの数字または「-」(マイナス)が入る。
⑴の答えとして、文字列「アイウエ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
⑵の答えとして、文字列「オカキク」をすべて半角で2行目に入力せよ。
公開日時: 2020年11月6日18:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
数列$~\{a_n\},~\{b_n\}$を相異なる2つの実数$~\alpha,\beta~$を用いて以下のように定義する。
$$
a_n = \cfrac{1}{\displaystyle{\sum_{k=0}^n}\alpha^{n-k}\beta^{k}}~~~,~~~b_n = \sum_{m=0}^\infty\frac{1}{a_mn^{m+2}}
$$ただし、$\{b_n\}~$は$n\geq 2$で定義されるものとする。$\alpha,\beta~$が
$$
\begin{cases}
\alpha + \beta = 1\\
|\alpha||\beta| = 1
\end{cases}
$$を満たすとき、
$$
a_k = b_k
$$となる最小の自然数$~k~$は$~k=\fbox{ア}\fbox{イ}$であり、このとき$~b_k = \cfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}\fbox{オ}}$である。
ア〜オには0から9までの数字のいずれかが入る。
数字列「アイウエオ」をすべて半角で入力し解答せよ。
ただし、分数は既約分数の形にすること。
公開日時: 2020年11月6日18:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
$n$ を正の整数とするとき,以下の条件を満たす三角形の総数 $T_n$ を求めなさい。ただし,互いに合同であるような $2$ つの三角形は区別しない。
例えば,$n=1$ のときには,辺の長さが $1$ の正三角形を作ることができる。これ以外に条件を満たすような三角形は存在しない。よって $T_1=1$ である。
$n$ が奇数のとき
$$
T_n=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イウ}}n^3+\frac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}}n^2+\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キク}}n+\frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}}
$$
である。
空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{コ}$ には,半角数字 0
- 9
,記号 -
のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{コ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。分数は既約分数の形で答えてください。
公開日時: 2020年11月6日18:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 中学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
$$
1+(2^1+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)
$$
は、$2$ で最大何回割り切れるか。
半角数字のみで答えよ。
たとえば $5555$ 回割り切れると答えるのであれば1行目に
5555
と入力せよ。
公開日時: 2020年11月1日20:12 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
△ABCにおいて、垂心をH、外心をOとするとAB//HOであった。このとき、∠Cの角度としてあり得る値の範囲を求めてください。
ただし、OとHが一致する場合は除きます。
∠Cの範囲は度数法で表すと、$(0°<)\alpha°<C<\beta°(<180°)$となります。
$\alpha+\beta$を半角数字で解答してください。
公開日時: 2020年10月30日20:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
$k$を$0$以上の実数, $e$を自然対数の底とする。数列$a_n$を
$$a_n=\frac{n!e^n}{n^{n+k}}$$
と定める。任意の自然数$n$に対して, $a_{n+1} < a_n$が成り立つような最小の$k$を求めよ。
整数または既約分数で答えてください。