数学の問題一覧

問題文

あるサバイバルゲームには $2024$ 人の人が参加しており，以下を $2022$ 回繰り返します．

• 残っている人の中からランダムに（等しい確率で）二人を選ぶ．その後，二人が対戦し，どちらかがゲームから脱落する．参加者の実力は同じであるため，脱落する側は等しい確率で選ばれる．

このとき，最後に残った二人に一度も対戦をしていない人が含まれる確率を求めてください．ただし，求める確率は互いに素な二つの正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるため，$a+b$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

正三角形$ABC$と$AP=2，BP=CP=3$を満たす点$P$がある.
$AB$の長さとしてあり得る値の総和の$2$乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$2^{2^{10}}$ を素数 $2027$ で割った余りを求めてください．

問題文

$ $　p,d,q,b,a,e,s の $7$ 文字を使い，$6$ 文字の文字列を作ることを考えます．(使わない文字が必ず $1$ 文字以上出てきます．)
$ $　文字列において，$1,6$ 文字目，$2,5$ 文字目，$3,4$ 文字目が後述の対応する文字どうしになるようにする必要があります．
$ $　対応する文字は以下のとおりです．

• p と d
• q と b
• a と e
• s と s

$ $　なお，d と p のように，対応する文字どうしであり指定された文字目に $2$ 文字がいれば文字列内で順序が入れ替わってもよいものとします．
$ $　また，この文字列内において，同じ文字を使えるのは $2$ 回までとします．
$ $　以上の条件を全て満たした文字列は全部でいくつありますか？

解答形式

非負整数を半角で解答してください．

問題文

素数 $p$ に対して，$\dfrac{1}{p}$ を小数表記したときに循環する長さを $\Pi(p)$ で表します．正整数 $n$ に対し，$\Pi(p)=n$ なる $p$ のうち最小のものを $M(n)$ とするとき，以下の値を求めてください．ただし，有限小数の場合循環はしないとします．
$$M(1)+M(2)+M(3)+M(4)+M(5)+M(6)$$

解答形式

答えとなる数字のみを解答してください．

問題文

$AB=33，BC=41，CA=26$の三角形$ABC$の面積の$2$乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

『猫又おかゆ』の目の前に左右 $1$ 列に $9$ 個のおにぎりが並んでいます．おにぎりの種類は鮭，うめ，おかかの $3$ 種類のうちいずれかです．並んでいるおにぎりについて，『猫又おかゆ』は次のことに気づきました．

• すべての種類のおにぎりがある．
• ある種類のおにぎりは $1$ 個しかない．
• おにぎりの種類が左右対称に並んでいる．

『猫又おかゆ』の目の前にあるおにぎりの種類の並びとして考えられるものは何通りありますか．

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

$AB=60，BC=70，CA=80$の三角形$ABC$があり，内心を$I$としたとき
$AI$の長さを解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

実数上の二項演算である「見せ算」を次のように定義します（今回は見せ算の中でも初等的な性質のみ扱います。）
$$
x \spadesuit y= \begin{cases} y & (x<y) \\ 0 & (x= y)\\ x & (x> y) \end{cases}
$$
この見せ算では結合法則が成り立たたず、計算順序により眼(答え)が変わる事があります。例えば、$((4 \spadesuit 4) \spadesuit 3)=3$ ですが、$(4 \spadesuit (4 \spadesuit 3))=0$ です。
数列 $(a_1,a_2,...,a_n)$ であって、$a_1\spadesuit a_2\spadesuit ....\spadesuit a_n$ をどんな順序で計算しても眼(答え)が変わらない数列を 全不変眼数列 と呼びます。
例えば、$(0,4,0,1)$ はどのような順序で計算しても眼が $4$ になるので 全不変眼数列 ですが、$(1,2,2,1)$ は $(((1 \spadesuit 2) \spadesuit 2) \spadesuit 1)=1$、 $(1 \spadesuit ((2 \spadesuit 2) \spadesuit 1))=0$ であるため 全不変眼数列 ではありません。
長さが $24$ で、$0,1,2,3$ を要素としてそれぞれ $6$ つずつ持つような 全不変眼数列 はいくつありますか？

解答形式

半角で解答してください

【補助線主体の図形問題 #063】
　今週はシンプルな難角問題を用意してみました。4頂点に対しすでに6線分が引かれていますから、補助点を打たなくてはなりません。要となる補助点を試行錯誤で探す楽しみを味わってもらえたら幸いです。

解答形式

${\renewcommand\deg{{}^{\circ}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。角度は弧度法ではなく度数法で表すものとします。
（例） $12\deg$ → $\color{blue}{12.00}$　　$\frac{360}{7}^{\circ}$ → $\color{blue}{51.43}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

各位の和が $14$ であるような $2$ 番目に小さい正の整数を求めよ．

$(i,j) (0\leq i,j\leq 2)$ の $9$ 個の格子点がある．いま，この中から $n$ 点をうちどの $3$ 点も直角三角形を成さないように選ぶことができる最大の正の整数 $n$ を $N$ とし，$n=N$ のときの条件を満たす選び方を $M$ 通りとするとき，$M^N$ を解答せよ．