自然数nを用いた素数2^n+5^(n+1)は存在するか。
証明する形式。
与式を因数分解せよ。x^6 - 41x^5 + 652x^4 - 5102x^3 + 20581x^2 - 40361x + 30030
因数分解された式のみ回答
問題文を入力してください
例）ひらがなで入力してください。
整数辺を持つ直角三角形のうち、その斜辺を a、内接円の半径を r としたとき、等式 $a^2 - 4ar - 4r^2 = r$ を満たすものを考える。 そのような三角形すべてのうち、内接円の半径 r が 1000 未満であるもの全ての、面積の総和を求めよ。
半角スペースなし
整数辺の直角三角形の中で、ある特別な性質を持つものを「閉じた三角形」と呼ぶ。 その定義は次の通りである： 三角形の3つの頂点から、最も近い内接円の接点までの3つの線分を考える。その3つの線分の長さを3辺として、新たな非退化三角形を作ることができる。 この条件を満たすもののうち、斜辺が300未満であるもの全てを考え、それらの周長の総和を求めよ。
ある整数辺の直角三角形について考える。 その三角形の半周長を$s$、斜辺を$a$、内接円の半径を $r $とする。 一辺の長さが $s$の正方形から、一辺の長さが a の正方形を隅から切り取ってできた、L字型の領域を考える。 このL字型の領域が、一辺の長さが$r$の正方形タイルを、重なりも隙間もなく、ちょうど整数枚だけ使って完璧に敷き詰められるという。 この条件を満たす三角形はどのようなものか、論ぜよ。
最初にその三角形の形状を示し、 ある程度計算などを省略した証明をお願いします
3辺の長さがすべて整数である直角三角形を考える。その斜辺を$a$、直角を挟む2辺を$b, c$とする。
これらの辺の長さが、以下の関係式を満たしているという。 $$7a = 5(b+c)$$ この条件を満たす全ての直角三角形のうち、斜辺 $a$ が$10$の倍数であり、かつ $a < 200$ であるもの全てを考える。
それらの三角形の、面積の総和を求めよ。
半角でスペースなし
3辺の長さがすべて整数である直角三角形を考える。 その面積を$S$、内接円の半径を$r$、斜辺を$a$とする。
これら3つの量の間に、「面積$S$を斜辺$a$で割ったときの余りが、内接円の半径$r$に等しい」という関係が成り立つ全ての直角三角形のうち、周長が$1000$未満であるものを全て求め、それらの斜辺の長さの総和を求めよ。
次の式の値は互いに素な正の整数 $p,q$ を用いて $\displaystyle \frac{q}{p}$ と表せるので，$p+q$ の値を解答してください． $$\displaystyle \sum_{n=1}^{10} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{(n-1)!(i+j)!(2n-i-j)!}{i!j!(2n)!(n-i)!(n-j)!}$$
半角数字で解答してください.
△ABCの内心をI、△ABCの外接円とAIの交点をL(≠A)、AB上にD(≠A,B)をとったとき以下が成立しました。$$LI=LD,AI=4,AD=5,BL=8$$DBの長さを解答してください。
半角数字で入力してください。
$P(x)$ は整数係数の3次多項式である。 すべての整数$ n $に対して、$P(n)+1$ は常に立方数となるとする $P(0)=7$ および $P(1)=26$ が成立している。 このとき、$P(2)-P(-1)$ の値を求めよ。
$P(x)$ は整数係数の monic な (最高次の係数が1の) 3次多項式 であるとする。方程式 $P(x) = 0$ は、相異なる3つの整数解を持 つことが分かっている。 $P(0)＝6$ $P(1)＝4$ のとき、$P(4)$の値を求めよ。
