全問題一覧

カテゴリ
以上
以下

構造を利用する方程式

yag 採点者ジャッジ 難易度:
18時間前

0

問題

実数$x,y$が
$$
\begin{cases}
x^2+y^2=1\\
2x^3+2y^3=1
\end{cases}
$$
を満たしている.
(1)$cos3θ$を$cosθ$を用いて表せ.
(2)$x+y$のとりうる値をすべて求めよ.

解答形式

三角関数を含む形で解答してください.


問題文

$$\sum_{i=1}^{n} x_i^n = y^n$$
$x_i$がすべて互いに素でnが6以上のときこの式を満たす自然数は高々有限個しか存在しない。

解答形式

この命題が真か偽を証明しなさい。

モンモール数だよ

udonoisi 採点者ジャッジ 難易度:
1日前

1

問題文

$D_n$ を $1$ から $n$ までの整数の順列 $(a_1, a_2, \cdots ,a_n)$ のうち
$$a_k \neq k \quad (k=1, 2, \cdots ,n)$$ を満たすものの個数とする. 例えば, $D_2=1, D_3=2, D_4=9$ である.
このとき,任意の素数 $p$ に対して$$D_{p-1} \equiv \sum_{k=0}^{p-1}{k! } \pmod{p}$$ となることを示せ.

解答形式

方針だけでも採点します

Conkom1910615 ジャッジなし 難易度:
6日前

1

問題文

ある数は2の倍数であり、1を引くと3の倍数である。この数を、小さい順で10個答えよ

解答形式

数字を10個

6日前

0

問題文

$a^{17}+b^{17}=c^{17}$を満たす自然数の組み合わせ$(a,b,c)$が存在しないことを示せ。

解答

多少厳密じゃなくても正解になります。

ゼータ根の明示化予想

Hensachi50 ジャッジなし 難易度:
6日前

0

問題文

リーマンゼータ関数の自明でないゼロ点は閉じた形で表せられるか。

解答形式

証明またはリーマンゼータ関数の自明でないゼロ点の閉じた形を解答しなさい。

整数問題(証明)

Ryomanic 採点者ジャッジ 難易度:
10日前

0

問題文

gcd(a,b)=1 なる2以上の正整数a,bについて、
$$a^3b-ab^3$$
が平方数とならないことを示せ。

解答形式

解答の文章を入力してください(省略ok)

位相の問題2

akaido 採点者ジャッジ 難易度:
10日前

0

$S$を集合として$M$をその任意の部分集合とする。
(i). $\mathfrak{O}_M:=\{X|M\subset {X},X\subset {S}\}\cup{}\{\emptyset\}$は$S$の位相となることを示せ。
(ii).{$\mathfrak{O}_M\}_{M\in\mathcal{P}(S)}$以上の濃度をもつ$S$の位相の集合は存在するか。するなら具体的に一つ述べよ。
ただし$S$の濃度$|S|≧2$とする。

Humpty Point

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度:
12日前

1

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり,$A,B$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E$ とし,線分 $DE$ 上に点 $P$ をとると,以下が成立しました.

$$AB=3,\quad AC=5,\quad \angle PAB=\angle PBC,\quad \angle PAC =\angle PCB $$
このとき線分 $AP$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$と表されるので $a+b$ を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください

フェルマー曲線と非特異性

Hensachi50 採点者ジャッジ 難易度:
12日前

0

問題文

プロジェクト空間 $\mathbb{P}^2$ 内の射影多様体 $V = Z(x^3 + y^3 + z^3) \subset \mathbb{P}^2$ を考える。この多様体が非特異であることを示しなさい。

解答形式

証明してください。

問題4

sulippa 自動ジャッジ 難易度:
13日前

0

問題文

$p$ を $101$ 以上の素数とする。$g$ を法 $p$ における原始根とし、$1$ から $p-1$ までの整数 $k$ に対して、$g^{\text{ind}(k)} \equiv k \pmod p$ となる $0 \le \text{ind}(k) \le p-2$ の整数 $\text{ind}(k)$ を定める。

ある整数 $k$ ($2 \le k < p$) に対して、数列 ${a_n}$ を以下で定める。
* $a_1 = k$
* $a_{n+1} \equiv a_n \cdot g \pmod p \quad (n=1, 2, 3, \dots)$

また、数列 ${b_n}$ を $b_n = \text{ind}(a_n)$ で定め、数列 $\ {b_n}$ の初項から第 $p-1$ 項までの和
$S = \sum_{n=1}^{p-1} b_n$
とする。
このとき、和 $S$ が $2000$ で割り切れるような素数 $p$ の最小値を求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題2

sulippa 自動ジャッジ 難易度:
13日前

4

問題文

整数 $x$ と素数 $p$ が、以下の連立合同式を満たす。

$x \equiv p \pmod{9797}$
$x \equiv 11p + 69 \pmod{9991}$

この条件を満たす最小の素数 $p$ を求めよ。

解答形式

半角左詰め