漸化式

u_ki ジャッジなし 難易度: 数学 > 高校数学
2022年8月6日21:16 解答数: 0 ギブアップ不可

$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{3^{n+1}a_n+3}を次のように変形する.$

$$\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{3}{a_n}+3^{n+1}$$

$b_n=\dfrac{1}{a_n}とすると, 上の式は次のようになる.(①とする.)$

$$b_{n+1}=3b_n+3^{n+1}$$

$ここで, ①の両辺を 3^{n+1} で割ると,以下のようになる.(②とする.)$

$$\dfrac{b_{n+1}}{3^{n+1}}=\dfrac{b_n}{3^n}+1$$

$さらに, c_n=\dfrac{b_n}{3^n} とすると②は, 以下のようになる.(③とする.)$

$$c_{n+1}=c_n+1$$

$つまり, 数列\{c_n\}は公差1の等差数列である.
ここで,$

$c_1=\dfrac{b_1}{3}=\dfrac{\dfrac{1}{a_1}}{3}=\dfrac{1}{3a_1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=4\,より,$

$$c_n=4+(n-1)=n+3$$

$$\dfrac{b_n}{3^n}=n+3$$

$$b_n=3^n(n+3)$$

$よって,\,\text{{$a_n$}}の一般項は,$

$$a_n=\dfrac{1}{3^n(n+3)}$$

$である.$