ΠMC002 B

問題文

素数 $p$ に対して，$\dfrac{1}{p}$ を小数表記したときに循環する長さを $\Pi(p)$ で表します．正整数 $n$ に対し，$\Pi(p)=n$ なる $p$ のうち最小のものを $M(n)$ とするとき，以下の値を求めてください．ただし，有限小数の場合循環はしないとします．
$$M(1)+M(2)+M(3)+M(4)+M(5)+M(6)$$

解答形式

答えとなる数字のみを解答してください．

問題文

整数 $n$ について，$\dfrac{10^n+11}{3}$ が平方数になるものは存在しますか？存在しないなら $-1$ を解答してください．存在する場合，最小の $n$ を解答してください．ただし答えは非常に大きくなる可能性があるので，$n$ を素数 $998244353$ で割ったあまりを解答してください．

解答形式

存在しないなら $-1$ を解答してください．存在する場合，最小の $n$ を解答してください．ただし答えは非常に大きくなる可能性があるので，$n$ を素数 $998244353$ で割ったあまりを解答してください．

問題文

$AB=2,BC=3,CA=4$ なる $\triangle ABC$ について，ナーゲル点を $N$，ジュルゴンヌ点を $G$ とするとき，$NG$ は互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と書けるので，$a+b+c$ を解答してください．

解答形式

$a+b+c$ を解答してください．

問題文

次の条件を満たす正整数 $a,b$ の組を $1$ つ求め，$a,b$ をこの順につなげて解答してください．
・$a>150$
・$a-b=2^7$
・$a$ に登場する数字の集合を $X$，$b$ に登場する数字の集合を $Y$ ，$ab$ に登場する数字の集合を $Z$とすると(例: $a=1233445$ のとき $X={1,2,3,4,5}$)，$|X|=3,Y\subset X,|Z|=3,X=Z$ が成立する．

解答形式

条件を満たす正整数 $a,b$ の組を $1$ つ解答してください．

問題文

以下を満たす正の合成数 $N$ としてあり得る最大値と最小値の和を解答してください．
・$N$ のすべての正の約数の並び替え $d_1,d_2,\cdots,d_t$ であって，任意の $k=1,2,\cdots,t-1$ に対して
$$\dfrac{(d_{k+1})^N+1}{d_k}$$
　が整数となるようなものが存在する．

解答形式

最大値と最小値の和を解答してください．

問題文

$$\angle{ADB}=\angle{ADC}=\angle{CDB}=90^°$$なる四面体 $ABCD$ の外接球に関して、体積を $V$ 表面積を $S$ としたとき、非負整数 $p$ を用いて、$V=p\pi,S=p\pi$ が成り立ちました。
このとき、四面体 $ABCD$ の体積の最大値の2乗を求めてください。

解答形式

半角数字で入力して下さい。

問題文

$11 \times 11$ の長方形のマスのうちいくつかを次の条件を満たしながら黒色に塗っていきます．

• 黒色に塗られた任意の $2$ つのマスは辺を共有しない(頂点は共有しても良い)．

このとき，黒色に塗ることができるマスの数は最大でいくつですか．

解答形式

正整数で答えて下さい．

問題文

$-1\leq k \leq 1$ を満たす実数 $k$ において，$10k + 11\sqrt{1-k^2}$ の最大値を $2$ 乗したものを求めてください．

解答形式

正整数で答えて下さい．

直方体 $ABCD-EFGH$があり, $AB=\sqrt{2},AD=2023\sqrt{2},AE=2024\sqrt{2}$ です. 三角形 $BDE$ の面積を求めてください.

問題文

三角柱 $ABC-DEF$ があり，いま点 $P$ は頂点 $A$ にいます．点 $P$ が隣り合う頂点に移動する操作を $12$ 回繰り返して点 $A$ に戻るように移動する方法すべてに対して，上下に移動する回数の総和を求めてください．

ただし上下に移動するとは，頂点 $A,B,C$ のいずれから頂点 $D,E,F$ のいずれかに移動すること，またその逆を意味します．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

正整数 $a , b$ の最大公約数を $g(\not=1)$，最小公倍数を $l$ としたとき，以下が成立しました．

$$\dfrac{l - 1}{g - 1} = 100$$

このときの $(a , b)$ の組としてあり得るものを全て求め，$a + b$ の総和を求めてください．

解答形式

正整数で答えて下さい．

桁数が偶数の自然数$n$の各位を$2$桁ごとに分割し、そうしてできる自然数の和を$S(n)$のする。例えば、
$S(2024)=20+24=44,S(120321)=12+3+21=36$
である。
さて、
$n+S(n)=5233$
を満たすような$n$を全て求めよ。

解答形式

$n$の値を整数でお答えください。