OMC没問2

問題文

$4\times4$ のマス目の各マスに $3,2,6$ のいずれかを書き込む方法のうち，どの横の行に書かれた $4$ 数の積も立方数であり，どの縦の列に書かれた $4$ 数の積も立方数であるような書き込み方は何通りあるかを求めてください．
ただし，回転や裏返しにより一致する書き込み方も異なるものとして数えるものとします．また，$3,2,6$ のうち使わない数があっても構いません．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

赤玉 $20$ 個と青玉 $21$ 個の計 $41$ 個の玉を横一列に並べます. このとき, 左から $1$ 番目から $20$ 番目までの玉の中に含まれる赤玉の個数を $R$, 青玉の個数を $B$, 左から $22$ 番目から $41$ 番目までの玉の中に含まれる赤玉の個数を $r$, 青玉の個数を $b$ とします. 玉の並べ方は全部で $ \binom{41}{20}$ 通りありますが, その全ての並べ方に対する $Rb + Br$ の値の相加平均を求めて下さい.

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\cfrac{b}{a}$ と表されるため, $a+b$ の値を解答して下さい.

問題文

$S=\{1,2,3,4,5,6\}$ とします．$S$ の相異なる部分集合 $A,B,C$ の組であって，$A\subset B\subset C$ を満たすものの個数を求めてください．
(ただし，$A,B,C$ は空集合や $S$ に一致してもよいものとします．)

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

鋭角三角形ABCについて，外心をO，重心をG，垂心をH，内心をIとします．
$$AO=\dfrac{325}{24}, AH=\dfrac{125}{12}, AG=\sqrt{145}$$
であるとき，$AI$の2乗を答えてください．

解答形式

答えは非負整数なので非負整数値を入力してください．

【補助線主体の図形問題 #117】
　今週の図形問題です。少しずつ発見を積み重ねていく、やや重めの問題となっています。どうぞじっくりと取り組んでやってください。

お詫びと訂正

${}$　投稿時点から翌日10月2日(月)午前1時過ぎまで、$\mathrm{AB} > \mathrm{AC}$となるべきところが$\mathrm{AB} > \mathrm{BC}$となっていました。お詫びして訂正いたします。現在は修正済みの画像となっています。

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm^2$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm^2$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm^2$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

実数列 $\lbrace a_n \rbrace_{n = 1, 2, \cdots 2024}$ が以下を満たしています.
・ $a_0 = 0$
・ $0 \leq a_n \leq n+1$
・ $a_{2024} = 2025$

このとき,
$$\sum_{n = 1}^{2024} \sqrt{{a_{n-1}}^2 + {a_{n}}^2 - a_{n-1}a_n - 2na_{n-1} + na_n + n^2}$$
には最小値が存在するため, 最小値を取るときの $a_{1000}$ の値を求めて下さい. ($a_{1000}$ の値は一意に定まります.)

解答形式

答えは, 互いに素な正整数 $a, b$ によって $\cfrac{b}{a}$ と表されるため, $a+b$ の値を解答して下さい.

問題文

下図のようにブロックがピラミッド状に積んであり，各ブロックに $1$ つずつ整数を割り当てていきます．このとき，最下段に並ぶブロックが $N$ 個であるとき，以下の条件を満たすように整数を割り当てることとします．
・ 最下段の左端のブロックには $1$ を，右端のブロックには $N−2$ を，また左から $i$ 番目のブロック $(2 \leq i \leq N−1)$ には $i−1$ をそれぞれ割り当てる．
・最下段以外のブロックには，そのすぐ下に位置する左右 $2$ つのブロックに割り当てられた数の積を割り当てる．

最も上にあるブロックに割り当てられた整数を $N−1$ で割った余りを $f(N)$ とします．このとき，$f(10^9 + 8) + f(10^9 + 404)$ の値を解答して下さい．ただし, $10^9 + 7, \ 5×10^8 + 3, \ 10^9 + 403, \ 5×10^8 + 201$ はいずれも素数であることは既知としてよいです．

解答形式

例）半角数字で解答して下さい.

問題文

自然数 $n$ に対し，次のように定められた数列 $\{a_{n}\},\{b_{n}\},\{c_{n}\}$ がある：

• $a_{1}=2023^{2023}$
• $a_{n}$ を $120$ で割った商が $b_{n}$，余りが $c_{n}$
• $a_{n+1}=b_{n}+c_{n}$

このとき，$\lim_{n\to\infty}a_{n}$ を求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ の内接円と $BC$ の接点を $D$， 三角形 $ABC$ の $\angle A$ 内の傍接円と $BC$ の接点を $E$ とし，直線 $AD$ と $\angle A$ 内の傍接円の交点のうち，$A$ から遠い方を $F$ とします．すると，
$$\angle DAE=30^\circ, \ AF=18, \ AB+CD=12$$

が成立しました．このとき，三角形 $DAE$ の面積の $2$ 乗を求めて下さい．

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\cfrac{b}{a}$ と表されるため，$a+b$ の値を解答して下さい．

問題文

各文字が < か > であるような長さ $13$ の文字列 $S$ の内, 次の条件を満たす整数列 $a_1, a_2, \cdots a_{14}$ が一意に存在するようなものはいくつありますか？
・$S$ の $i$ 文字目が < ならば, $a_{i+1} = a_i + 1$
・$S$ の $i$ 文字目が > ならば, $a_{i+1} = a_i - 1$
・$1 \leq a_k \leq4 \ (k = 1, 2, \cdots, 14)$

解答形式

半角数字で解答して下さい.

問題文

以下の条件を全て満たす $20001$ 個の整数の組 $(a_0,a_1,…,a_{20000})$ を 階段状な組 と定義します．

• $a_0=a_{20000}=0$ ．
• $k=0,1,…,19999$ について $|a_{k+1}-a_k|=1$ ．

また，階段状な組 $A=(a_0,a_1,…,a_{20000})$ に対して スコア $S(A)$ を以下のように定めます．

• 以下の条件を全て満たす $1001$ 個の整数の組 $(x_0,x_1,…,x_{1000})$ の個数．
  $\quad$ ・ $k=0,1,…1000$ について $x_k$ は $0$ 以上 $20000$ 以下の 偶数 ．
  $\quad$ ・ $k=0,1,…999$ について $x_k\lt x_{k+1}$ ．
  $\quad$ ・ $a_{x_{1000}}=0$ ．

階段状な組全てに対してスコア $S(A)$ の総和を求め，その値が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください．

解答形式

答えを入力してください．

問題文

正整数 $N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を $v_2 (N)$ で表すことにします.
(例 : $v_2(6) = 1, \ v_2(16) = 4$)
このとき,
$$\sum_{i = 1}^{1024} \sum_{j = 1}^{1024} \sum_{k = 1}^{1024} v_2 ( \textrm {gcd} (i, j, k))$$
の値を解答して下さい. ( $\textrm{gcd}(i,j,k)$ で $i,j,k$ の最大公約数を表しているとします.)

解答形式

半角数字で解答して下さい.