幾何問題11/22

解説

$(XYZ)$ のようにして，いくつかの点を通る円を表すものとする．
$l$ と $m$ の交点を $O$ とする．このとき，$3$ 点 $O,X,Y$ が一直線上にあることを示そう．
まず，$(OAB)$と直線 $AX$ の交点であって，$O$ でないものを $G$ とし，$3$ 直線 $AC,BD,XG$ が一点で交わることを示す．
以下，$G$ の位置で場合分けして考える．まず，$G$ が端点を除く線分 $OX$ 上にある場合，$\angle AXG=\angle ABO=\angle ACX$ より，内接四角形の定理の逆から，$4$ 点 $A,C,X,G$ は同一円周上にある．同様に，$4$ 点 $B,D,X,G$ は同一円周上にある．このとき，直線 $OX$ は $(ACXG)$ と $(BDXG)$ の根軸である．また，直線 $AC$ は $(ACDB)$ と $(ADXG)$ の，直線 $BD$ は $(ACDB)$ と $(BDXG)$ の根軸であるから，$3$ 直線 $AC,BD,XG$ は一点で交わる．
次に，$G$ が線分 $OX$ の $X$ 側の延長上にある場合，$\angle AGX=\angle ABO=\angle ACX$ より，円周角の定理の逆から，4点 $A,C,G,X$ は同一円周上にある．同様に，$4$ 点 $B,D,G,X$ は同一円周上にある．このとき，直線 $OX$ は $(ACGX)$ と $(BDGX)$ の根軸である．また，直線 $AC$ は $(ACDB)$ と $(ADGX)$ の，直線 $BD$ は $(ACDB)$ と $(BDGX)$ の根軸であるから，$3$ 直線 $AC,BD,XG$ は一点で交わる．
最後に，$G=X$ の場合，$\angle AGO=\angle ABO=\angle ACG$ より，$(ACG)$ は直線 $OX$ に接する．同様に，$(BDG)$ も直線 $OX$ に接するから，直線 $OX$ は $(ACG)$ と $(BDG)$ の根軸である．また，直線 $AC$ は $(ACDB)$ と $(ADG)$ の，直線 $BD$ は $(ACDB)$ と $(BDG)$ の根軸であるから，$3$ 直線 $AC,BD,XG$ は一点で交わる．
以上より，いずれの場合にも，$3$ 直線 $AC,BD,XG$ が一点で交わることが示された．この点を $H$ とする．また，直線 $HX$ と線分 $CD$ の交点を $I$ とする．このとき，チェバの定理より $$\dfrac{HA}{AC}\cdot\dfrac{CI}{ID}\cdot\dfrac{DB}{BH}=1$$ メネラウスの定理より $$\dfrac{HO}{OX}\cdot\dfrac{XE}{EC}\cdot\dfrac{CA}{AH}=1$$ $$\dfrac{HB}{BD}\cdot\dfrac{DF}{FX}\cdot\dfrac{XO}{OH}=1$$ 以上 $3$ 式を辺々掛け合わせることにより，$$\dfrac{XE}{EC}\cdot\dfrac{CI}{ID}\cdot\dfrac{DF}{FX}=1$$ したがって，チェバの定理の逆より，$3$ 直線 $CF,DE,XI$ が一点で交わる，すなわち $Y$ が直線 $OX$ 上にあることが示された．
さて，$l\parallel PC$ より $\angle APC=\angle OAP$，接弦定理より $\angle ACP=\angle OAP$ なので，$\angle APC=\angle ACP$ すなわち $PA=AC=3$ である．同様に，$PB=BD=6$ である．またこれより，$\angle AXC=\angle ABX+\angle BAX=\angle ACP+\angle BCP=\angle ACX$ より，$AX=AC=3$ であり，同様に $\angle BXD=\angle BDX$ なので，$BX=BD=6$ である．このとき，$DX=x$ とおくと，余弦定理より $$\cos\angle AXB=\dfrac{AX^{2}+BX^{2}-AB^{2}}{2\cdot AX\cdot BX}=-\dfrac{2}{3}$$ $$\cos\angle BXD=\dfrac{BX^{2}+DX^{2}-BD^{2}}{2\cdot BX\cdot DX}=\dfrac{x^{2}}{12x}=\dfrac{x}{12}$$ ここで $\cos\angle BXD=-\cos\angle AXB$ なので，$\dfrac{x}{12}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow x=8$ である．このとき，方べきの定理より，$CX=\dfrac{AX\cdot DX}{BX}=4$ である．また，$\angle OAB=\angle OBA=\angle BDX=\angle BXD$ より $\triangle OAB\sim\triangle BDX$ なので，$OA=BD\cdot\dfrac{DX}{AB}=\dfrac{3\sqrt{69}}{4}$ である．さらに，$l\parallel PC$ より $\angle AEC=\angle PCB=\angle PAB$，内接四角形の定理より $\angle ACE=\angle APB$ なので $\triangle AEC\sim \triangle BAP$ であるから，$AE=AB\cdot\dfrac{AC}{PB}=\dfrac{\sqrt{69}}{2}$，$EC=PA\cdot\dfrac{AC}{PB}=\dfrac{3}{2}$ である．このとき，$OX=y$ とおくと，余弦定理より $$\cos \angle EAX=\dfrac{AE^{2}+AX^{2}-EX^{2}}{2\cdot AE\cdot AX}=-\dfrac{4}{3\sqrt{69}}$$ $$\cos\angle OAX=\dfrac{AO^{2}+AX^{2}-OX^{2}}{2\cdot AX\cdot AO}=\dfrac{765-16y^{2}}{72\sqrt{69}}$$ ここで $\cos\angle OAX=-\cos\angle EAX$ なので，$\dfrac{765-16y^{2}}{72\sqrt{69}}=\dfrac{4}{3\sqrt{69}}\Leftrightarrow y=\dfrac{\sqrt{669}}{4}$ である．
ここでメネラウスの定理より，$\dfrac{OE}{EA}\cdot\dfrac{AD}{DX}\cdot\dfrac{XY}{YO}=1$ が成り立つから，$\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{11}{8}\cdot\dfrac{XY}{YO}=1\Leftrightarrow\dfrac{XY}{YO}=\dfrac{16}{55}\Leftrightarrow XY=\dfrac{16}{39}OX=\boldsymbol{\dfrac{4\sqrt{669}}{39}}$
特に求めるべき値は，$4+669+39=\boldsymbol{712}$

余談

既出かもしれませんが，ほかに $3$ 直線 $AB,CD,EF$ が一点で交わることがデザルグの定理により示せます．
きちんと図形の性質も使ってはいますが，計算が大変すぎ，結局は作業量が多いだけの問題になってしまったので，悪問だと思います．いい解法があれば教えていただけると幸いです．