問題
$(1)$ 方程式 $12x^2+4xy-21y^2=32x-32y+3$ の整数解 $(x,y)$ を求めよ．
$(2)$ 不等式 $z^2\lt a(a+1)z-a^3$ の奇数解 $z$ が二つとなる実数 $a$ の範囲を求めよ．
解説
$(1)$ まず，$(2x+3y-p)(6x-7y-q)=3+pq$ とおくと，$6p+2q=7p-3q=32$ から $p=5,\ q=1$ を得る．よって，積が $3\cdot 8$ かつ差が $2|8y-7|\in\{6-4,\ 12-2\}$ から $8y=8,\ 2x+3y=7$ より $\boldsymbol{(x,y)=(2,1)}$ となる．
$(2)$ $(z-a)(z-a^ 2)\lt 0$ の整数解 $z$ は $3,4,5$ 個が候補になり，その区間幅は $2\lt |a^2-a|\leqq 6$ が必要となるので，$a=3$ の奇数解 $z$ は $5,7$ で適し，ほかの $a$ は整数部分が $\pm\,2$ より $a\lt z\lt a^2$ の奇数解は $\pm\,1$ または $3,5$ とわかる．よって，求める $a$ の範囲は $\boldsymbol{-\,\sqrt 3\leqq a\lt -\,1,\ \sqrt 5\lt a\leqq \sqrt 7,\ a=3}$ と表せる．（ $a^{xy}=2,3,6,7,9$ の和は $27$ ）
参考
一般に，$b\lt z\lt c$ を満たす整数 $z$ が $k$ 個のとき，床・天井関数を用いて $\lceil c\rceil-\lfloor b\rfloor=k+1$ が成立するので，本問は方程式 $\left\lceil\dfrac{a^2+1}{2}\right\rceil-\left\lfloor\dfrac{a+1}{2}\right\rfloor=3$ の実数解と対応する．