一次関数の変域の応用

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について線分 $AC$ 上に点 $P$ を取り，線分 $PC$ の垂直二等分線と線分
$BC$ が交わったのでその点を $D$ とする．線分 $AB$ 上の点 $E$ が $ED\parallel AC$ を満たしている．三角形 $PED$ の外接円と線分 $BC$ が $D$ でない点 $F$ で交わっており，$$FA=FC=7,　BD=4,　PD=5$$ が成り立った．このとき，線分 $AC$ の長さは互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．

問題文

九点円中心を$N$とする鋭角三角形$ABC$において，$BN$と$AC$の交点を$P$，$CN$と$AB$の交点を$Q$とする.直線$AC$に関して$B$と対称な点を$B'$，直線$AB$に関して$C$と対称な点を$C’$とし，$B'Q$と$C'P$の交点を$X$とするとき，以下が成立しました.$$\angle BAX=\angle NAX　\tan\angle ACB=\frac{5}{6}　AB=10$$このとき，三角形$ABC$の面積を求めて下さい.

解答形式

半角で解答して下さい.

【補助線主体の図形問題 #115】
　今週の図形問題です。今回は重めの問題にしてみました。とはいえ、補助線が活躍するのはいつも通りです。じっくり腰を据えて挑戦してください！

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

${}$　西暦2024年問題第6弾です。いよいよ整数問題のお出ましとなりました。ある程度は手を動かす必要がありますが、あることに気づけば調べる候補をぐっと減らすことができます。約数の個数を求めるのが面倒な方はWolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com なども併用して構いません。

解答形式

${}$　解答は求める$n$の最小値をそのまま入力してください。
（例）$n=2106$ → $\color{blue}{2106}$

【補助線主体の図形問題 #109】
　今週の図形問題です。今回はシンプルな見た目だけに、補助線が大いに活躍します。その分というわけではありませんが、計算は重めです。ぜひじっくりとお楽しみください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題

$1$ 以上の整数 $n$ について関数 $f(n)$ は以下の式により定義されます．$$f(n)=\sum_{k=1}^{2n}\prod_{m=0}^{2^9}(k-m)$$ このとき，$f(n)=0$ の成り立つ $n$ の総和は，素数 $p$ と整数 $m$ を用いて，$pm$ と示せるので，$p+m$ の最小値を回答してください．
　ただし，素数表:https://onlinemathcontest.com/primes は用いても構いません．

解答形式

非負整数で回答してください．

問題文

円に内接する $8$ 角形 $ABCDEFGH$ が $\angle{A}=121^{\circ},\angle{B}=122^{\circ},\angle{C}=123^{\circ},\angle{D}=124^{\circ},\angle{E}=125^{\circ},\angle{F}=126^{\circ}$ を満たすとき，$\angle{G}$ の大きさを度数法で解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$5\times5$ のマス目の異なる $2$ つのマスにナイトの駒を $1$ つずつ置き，「ナイトの駒の動きに従って $2$ つの駒を同時に動かす」という操作を繰り返したところ，$2$ つの駒が同じマスに止まりました．
このとき，最初にナイトの駒を置いた $2$ マスの組み合わせとしてあり得るものの総数を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$1000^{n}$ ($n$ は自然数) の正の約数の個数を $D_{n}$ とし, そのうち $10^{n}$ より大きく, $100^{n}$ より小さいものの個数を $K_{n}$ とする。
極限値
$$
\lim_{n \to \infty} \dfrac{K_{n}}{D_{n}}
$$
を求めよ。

解答形式

電卓を用いるなどして極限値の小数第5位までを解答してください．(0.1234567...の場合0.12345と解答する)

備考

本問は京大作問サークル理系模試2019の第1回6番に掲載している問題です.

【補助線主体の図形問題 #099】
　今週の図形問題は、通算99問目ということで正九角形を取り上げてみました。タネがわかれば余裕で暗算処理可能です。まずは紙＆筆記具を使わずに頭の中で補助線を思い浮かべながら挑戦してみてください。

解答形式

${\renewcommand\deg{{}^{\circ}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。角度は弧度法ではなく度数法で表すものとします。
（例） $12\deg$ → $\color{blue}{12.00}$　　$\frac{360}{7}^{\circ}$ → $\color{blue}{51.43}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

【補助線主体の図形問題 #124】
　年始は西暦を織り込んだ数学・パズルの問題をお送りしてきましたが、また日曜夜通例の「補助線主体の図形問題」に戻ります。変わらぬご愛顧ををどうかよろしくお願いします。
　今回は、補助線を使えば計算量減を図れ、補助線を使わないと面倒な計算を強いられるという問題を用意しました。補助線解法を期待しているのですが、力技で解くのもアリです。お好きなようにお楽しみください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

$AB=5,AC=9$ なる三角形 $ABC$ があり，その外接円を $\Gamma$ とします．辺 $BC$ の中点を $D$ とすると，$B$ における $\Gamma$ の接線と半直線 $DA$ が点 $E$ で交わりました．また，辺 $AC$ 上の点 $F$ が $\angle CDF=\angle BEA$ をみたしています．$DF=\dfrac{10}{3}$ のとき，線分 $AE$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください。