一次関数の変域の応用

問題文

$5\times5$ のマス目の異なる $2$ つのマスにナイトの駒を $1$ つずつ置き，「ナイトの駒の動きに従って $2$ つの駒を同時に動かす」という操作を繰り返したところ，$2$ つの駒が同じマスに止まりました．
このとき，最初にナイトの駒を置いた $2$ マスの組み合わせとしてあり得るものの総数を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

円に内接する $8$ 角形 $ABCDEFGH$ が $\angle{A}=121^{\circ},\angle{B}=122^{\circ},\angle{C}=123^{\circ},\angle{D}=124^{\circ},\angle{E}=125^{\circ},\angle{F}=126^{\circ}$ を満たすとき，$\angle{G}$ の大きさを度数法で解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

【補助線主体の図形問題 #124】
　年始は西暦を織り込んだ数学・パズルの問題をお送りしてきましたが、また日曜夜通例の「補助線主体の図形問題」に戻ります。変わらぬご愛顧ををどうかよろしくお願いします。
　今回は、補助線を使えば計算量減を図れ、補助線を使わないと面倒な計算を強いられるという問題を用意しました。補助線解法を期待しているのですが、力技で解くのもアリです。お好きなようにお楽しみください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

${}$　西暦2024年問題第3弾です。今回は中学入試風の規則性の問題となりました。軽く解いてやってください。

解答形式

${}$　解答は黒石の個数を単位なしでそのまま入力してください。
（例）103個 → $\color{blue}{103}$

問題文

数列 ${a_n}$ ($n \ge 0$) が、初期値 $a_0 = 3$ および以下の漸化式で定義されるとする。
$$a_{n+1} = a_n^2 - 2 \quad (n \ge 0)$$
この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。
ただし、黄金比を$Φ$とする。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ $,$ $A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とし $,BC$ の中点を $M$ とする$.$ 直線 $AM$ 上に $\angle APH=90 ^。$ となる点 $P$ をとり$,$ 直線 $DE$ と直線 $FP$ の交点を $Q$ とする $.$
また $,$ 三角形 $AHC$ の外接円と三角形 $ABM$ の外接円との交点を$R$ $,$ 三角形$AHC$の外接円と線分 $DE$ の交点を$S$ とする $.$
$$AM:AS=\sqrt{3}:\sqrt{2}　　AQ=11　　QR=7$$
が成り立つとき, $BC$ の長さを求めよ.

解答形式

$BC^2$ は正の整数値になるので,その値を半角で解答してください.

間違えて公開してしまい、回答を一件いただいているので、泣く泣くボツ問としてここに供養します。

$\min(f(x))$を関数$f(x)$の$-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}$における最小値とする。
以下の値を求めよ。
$$\int^{16}_0\min(\tan^2{x}+a\cos{x})da$$
ただし$a$と$x$は独立している。

問題文

非常に細長いガムテープがあります。このガムテープは $M$ 個の区画に分かれています。ここで、$M$ は非常に大きい整数です。

はじめ、ガムテープには何も描かれていません。じーえむ君は $M$ 回以下の操作を行い、絵を描きます。

• まだ何も塗られていない隣接する二つの区画を一様ランダムに選び、黒く塗る。そのような区画が存在しない場合は何もしない。

操作が終わった後黒く塗られている区画の数を $X$ とします。
$M$ が限りなく大きくなるときの $\frac{X}{M}$ の期待値の極限を求めてください。

解答形式

答えとなる値を $p$ として $10^{10}p$ の整数部分を求めてください。
なお、以下の定数表を参考にしても構いません。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%AE%9A%E6%95%B0

問題文

表面積が$\displaystyle n \sin \frac{2\pi}{n}$である正$n$角錐の体積の最大値を$V_n$とする。極限値
$$\begin{eqnarray}
A &=& \lim_{n \to \infty} V_n \\
B &=& \lim_{n \to \infty} n^2 (V_n -A )
\end{eqnarray}$$を求めよ。

解答形式

$A,B$は
$$
A = \fboxア \frac{\pi^\fboxイ}{\fboxウ} , \qquad B = \fboxエ \frac{\fboxオ \pi^\fboxカ}{\fboxキ}
$$となるので文字列「$\fboxア\fboxイ\fboxウ\fboxエ\fboxオ\fboxカ\fboxキ$」をすべて半角で1行目に答えてください。ただし$\fboxア\fboxエ$は$\texttt{+-}$のどちらか、$\fboxイ\fboxウ\fboxオ\fboxカ\fboxキ$は自然数であり、$\fboxオ$と$\fboxキ$は互いに素です。例えば$\displaystyle A=+\frac{\pi^{2}}{3},B=-\frac{5\pi^{7}}{11}$としたいときは+23-5711と回答してください。計算して-5688とはしないでください。

【補助線主体の図形問題 #115】
　今週の図形問題です。今回は重めの問題にしてみました。とはいえ、補助線が活躍するのはいつも通りです。じっくり腰を据えて挑戦してください！

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

【補助線主体の図形問題 #126】
　今週の図形問題です。隙あらば暗算で処理できる程度の問題を好んで出題しているのですが、今回は暗算処理は厳しいかもしれません。紙＆ペンをご用意の上、挑戦していただければと思います。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

小さい方から $n$ 番目の素数を $p_{n}$ とおく。
次の極限を調べよ。
$$
\lim_{n\to \infty}\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{7}{6}\cdot\frac{11}{10}\cdot\frac{13}{12}\cdots\frac{p_{n}}{p_{n}-1}
$$

解答形式

発散する場合

以下のように入力してください。
正の無限大に発散する場合 : ∞
負の無限大に発散する場合 : -∞
振動する場合 : 振動

収束する場合

半角英数字で入力してください。
分数は規約分数で1つにまとめて{分子}/{分母}の形で入力してください。
累乗は{底}^{指数}の形で入力してください。根号は累乗の形に直してください。
対数は自然対数に揃えてlog{真数}の形で入力してください。
自然対数の底はe,円周率はπと表記してください。
例1) $\sqrt{2} e^{3}$ の場合 : {2}^{{1}/{2}}{e}^{3}
例2) $\log_{2}3$ の場合 : {log{3}}/{log{2}}