代数問題1

問題文

$f(n)=n ^{15}+21n^{10}+147n^5+343$ とします．
正整数 $n$ に対して， $f(n)$ が $5^m$ で割り切れるような最大の非負整数 $m$ を $g(n)$ と定めます．$10000$ 以下の正整数 $k $であって $g(n)=k $ を満たす正整数 $n$ が存在するような $k$ の総積を $3343$ で割った余りを解答してください．ただし，$3343$ は素数です．

解答形式

非負整数を解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ の外接円を $\Gamma$ とします．辺 $BC$ 上に点 $X$ をとります．$B,X$ を通り，$\Gamma$ と接する円を $\Omega_1$ とし，$C,X$ を通り，$\Gamma$ と接する円を $\Omega_2$ とします．$\Omega_1$ と $\Omega_2$ は二点で交わっており，$X$ でない方の交点を $Y$ とします．直線 $XY$ は点 $A$ を通り，線分 $XC$ の垂直二等分線も点 $A$ を通りました．
$$BX = 4，CX=1$$を満たす時，三角形 $ABC$ の面積の二乗を求めてください．ただし，求める値は互いに素な二つの正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるので，$a+b$ を解答してください．

解答形式

非負整数を半角で入力してください．

問題文

「オ」「タ」「チ」の $3$ 種類の文字で構成される長さ $n$ の文字列に対して，オオタチ度を，その文字列の中で連続する $4$ 文字が「オオタチ」となっているようなものの数と定義します．
　たとえば「チタタオオタチオタチタオオオタチ」のオオタチ度は $2$ で，「チタオオチタオオチタオオ」のオオタチ度は $0$ です．
　長さが $n$ で構成する文字が $3$ 種類のため，文字列としては $3^n$ 種類のものが考えられます．これらのオオタチ度の相加平均を $f(n)$ とします．
　$f(n)$ が正整数になる最小の $n$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

正整数 $N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を $v_2 (N)$ で表すことにします.
(例 : $v_2(6) = 1, \ v_2(16) = 4$)
このとき,
$$\sum_{i = 1}^{1024} \sum_{j = 1}^{1024} \sum_{k = 1}^{1024} v_2 ( \textrm {gcd} (i, j, k))$$
の値を解答して下さい. ( $\textrm{gcd}(i,j,k)$ で $i,j,k$ の最大公約数を表しているとします.)

解答形式

半角数字で解答して下さい.

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について, 線分 $BC$ 上に点 $D$ を取り, 三角形 $ABD$ の垂心を $H_1$, 三角形 $ADC$ の垂心を $H_2$ とします. すると, $BD = DC = H_1 H_2 = 10$, $H_1 D : H_2 D = 2 : \sqrt{10}$ が成立しました. このとき, 三角形 $ABC$ の面積としてあり得る値の総積を解答してください.

解答形式

答えは正整数になるため, その値を半角数字で解答してください.

問題文

任意の二次関数$\ f\ $についてある$\ \theta \ (0\le \theta \le 2\pi)$があって,$\ xy$座標平面上で$\ y=f(x)\ $を$\ \theta \ $反時計回りに回転させたものを考える.$\ $これがある関数$\ g(x)\ $で$\ y=g(x)\ $と表せるときの$\ \theta\ $としてありうるものの総和を$\ S\ $とするとき$\ S\ $を超えない最大の整数を回答して下さい.

解答形式

整数で回答してください.

問題文

こちらも問題に不備があったため、数値設定を変更いたしました。不備が重なってしまいたいへん申し訳ありません。

正六角形 $ABCDEF$ の線分 $AC, BC, DE$ 上にそれぞれ点 $P, Q, R$ を取ったところ, $PQ \perp BC, PR \perp DE, \angle QAR=60^\circ$ が成立しました. また, 三角形 $APQ$ の外心を $O$, 三角形 $APR$ の外心を $O^\prime$ とし, 三角形 $AOO^\prime$ の外接円と三角形 $APQ$ の外接円の交点を $X( \neq A)$, 三角形$AOO^\prime$ の外接円 と三角形 $APR$ の外接円の交点を $Y( \neq A)$ とすると, $BY=7$ が成立しました. このとき, 線分 $DX$ の長さを求めて下さい.

解答形式

答えは最大公約数が $1$ である正整数 $a,b, c$ によって $\cfrac{\sqrt{b}-c}{a}$ と表されるため, $a+b+c$ の値を半角数字で解答してください.

問題文

正整数 $N$ に対し, $f(N)$ を以下のように定めます.
・ $N$ の正の約数全てに対し, それが $2$ で割り切れる最大の回数の総和

例えば, $f(6) = 2, f(4) = 3$ となります. このとき, $f(M) = 40$ となる最小の正整数 $M$ を解答して下さい.

解答形式

正整数を解答して下さい.

問題文

鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$，外心を $O$ とし，$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とします．
$OH=3,AH:HD=7:2$ であり，$\triangle{ABC}$ の外接円半径が $5$ であるとき，${OD}^2$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$14^3$ の $16$ 個の正の約数を並び替えた数列を $a_1,\ldots,a_{16}$ とおき，$15^3$ の $16$ 個の正の約数を並び替えた数列を$b_1,\ldots,b_{16}$ とおきます．この二つの数列のスコアを
$$
\sum_{k=1}^{16} \frac{a_k}{b_k}
$$
で定めます．数列 $a,b$ の組として考えられるものは $(16!)^2$ 通りありますが，これらの組におけるスコアの（相加）平均を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて，$\dfrac{p}{q}$ と表されるため，$p+q$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$2^{20}!!$ は $2$ で何回割り切れますか？

解答形式

半角数字でお答え下さい。
計算機はご自由にお使いください。

問題文

問題の数値設定に不備があったため、数値設定を変更します。申し訳ありません。(三角形 $DEH$ の面積を $9$ から $3$ に変更しました。)

鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$, 外心を $O$ とします. また, 直線 $BH$ と線分 $AC$ の交点を $D$, 直線 $CH$ と線分 $AB$ の交点を $E$ とします. そして, 線分 $DE$ の中点を $N$, 直線 $HN$ と直線 $AO$ の交点を $X$ とします. このとき, $A, X, O$ はこの順に並び, $AX = 3, XO = 5$ が成立しました. また, 三角形 $DEH$ の面積が $3$ であったとき, 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

解答形式

答えは, 正整数 $a, b$ を用いて $\sqrt{a} + b$ と表されるので, $a+b$ の値を半角数字で解答してください.