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問題文

鋭角三角形 $ABC$ について, 線分 $BC$ 上に点 $D$ を取り, 三角形 $ABD$ の垂心を $H_1$, 三角形 $ADC$ の垂心を $H_2$ とします. すると, $BD = DC = H_1 H_2 = 10$, $H_1 D : H_2 D = 2 : \sqrt{10}$ が成立しました. このとき, 三角形 $ABC$ の面積としてあり得る値の総積を解答してください.

解答形式

答えは正整数になるため, その値を半角数字で解答してください.

問題文

こちらも問題に不備があったため、数値設定を変更いたしました。不備が重なってしまいたいへん申し訳ありません。

正六角形 $ABCDEF$ の線分 $AC, BC, DE$ 上にそれぞれ点 $P, Q, R$ を取ったところ, $PQ \perp BC, PR \perp DE, \angle QAR=60^\circ$ が成立しました. また, 三角形 $APQ$ の外心を $O$, 三角形 $APR$ の外心を $O^\prime$ とし, 三角形 $AOO^\prime$ の外接円と三角形 $APQ$ の外接円の交点を $X( \neq A)$, 三角形$AOO^\prime$ の外接円 と三角形 $APR$ の外接円の交点を $Y( \neq A)$ とすると, $BY=7$ が成立しました. このとき, 線分 $DX$ の長さを求めて下さい.

解答形式

答えは最大公約数が $1$ である正整数 $a,b, c$ によって $\cfrac{\sqrt{b}-c}{a}$ と表されるため, $a+b+c$ の値を半角数字で解答してください.

問題文

三角形 $ABC$ の線分 $AB$ 上に点 $D$, 線分 $DC$ 上に点 $E$, 線分 $AC$ 上に点 $F$ を取ったところ, 以下が成立しました.
・ $\angle AED = \angle ABE = \angle EFC = 60^\circ$
・ $\angle EAC = 19^\circ$
・$DF = CF$
このとき, $\angle EBC$ の大きさは, 度数法で $N^\circ$ と表されるため, $N$ を解答してください.

解答形式

答えは正整数になるため, その値を半角数字で解答してください.

問題文

正三角形 $ABC$ において，その外接円の劣弧 $BC$ 上（端点を除く）に点 $D$ をとり，三角形 $ABD,BCD,CAD$ の内心をそれぞれ $I_C,I_A,I_B$ とすると，$I_BI_C=2I_AI_B=6$ が成立しました．このとき，$BC$ の長さの $2$ 乗を求めてください．

解答形式

答えは正整数値になるので，半角で解答してください．

問題文

凸四角形 $ABCD$ において，
$$AB=BD=7 ,BC=5,CD=4, 2∠ACB+∠ACD=180°$$

が成り立ちました．このとき，線分 $AD$ の長さは互いに素な自然数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$​ と表せるので $a+b$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．
不備等あれば教えて下さい。

問題文

$\triangle ABC$において，内心を$I$，重心を$G$とし，$I$ から$BC$，$CA$，$AB$に下ろした垂線の足をそれぞれ$D$，$E$，$F$とすると，$G$は$EF$上にあり，$IG=1$，$BD:DC=3:5$を満たした．このとき，$\triangle ABC$の周長の$2$乗を求めよ．

解答形式

求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので，$a+b$を半角数字で解答してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$，外心を $O$ とし，$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とします．
$OH=3,AH:HD=7:2$ であり，$\triangle{ABC}$ の外接円半径が $5$ であるとき，${OD}^2$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ に対し，重心と垂心をそれぞれ $G,H$ とし，直線 $GH$ と辺 $AB,AC$ との交点をそれぞれ $D,E$ とし，直線 $AH$ と辺 $BC$ の交点を $F$ としたところ，$DH:HG=4:3,BF:FC=3:7$ となりました．
${AD}^2:{AE}^2$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されるので，$a+b$ の値を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ の辺 $AB,AC$ 上に ${BC}\parallel{DE}$ となるよう $D,E$ をとり，さらに，$D,F,G,E$ がこの順に並ぶように点 $F,G$ を線分 $DE$ 上にとる．さらに，辺 $BC$ と直線 $AF,AG$ との交点をそれぞれ $H,I$ とする．
三角形 $ADF$，四角形 $FGIH$，$AEG$ の面積がそれぞれ $3,5,8$ であるとき，三角形 $ABC$ の面積の最小値は正の整数 $a,b$ および平方因子をもたない正の整数 $c$ を用いて $a+b\sqrt{c}$ と表せるので，$a+b+c$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$n$ を $3$ 以上の整数とする。点 $\mathrm{O}$ を中心とする、半径 $1$ の円の形をしたピザがある。ピザの周上には、等間隔に点 $\mathrm{P}_1,\ldots,\mathrm{P}_n$ が並んでいる。

線分 $\mathrm{OP}_1$ 上に、線分 $\mathrm{OO'}$ の長さが $d$ となるような点 $\mathrm{O'}$ をとる。ここで $0< d < 1$ は定数である。ピザを線分 $\mathrm{O'P}_1,\ldots,\mathrm{O'P}_n$ によって分割し、分けられた $n$ 個のピザのうち線分 $\mathrm{P_1P_2,P_2P_3,\ldots, P_nP_1}$ を含む部分の面積を、それぞれ $S_1,\ldots,S_n$ とする。

$S_i$ の 平均はもちろん $\displaystyle \bar{S}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}S_i=\frac{\pi}{n}$ である。では、$S_i$ の分散 $\displaystyle \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(S_i-\bar{S})^2$ はどうなるだろうか。以下の空欄を埋めよ。

（１）$\displaystyle \frac{\sigma ^2}{d^{\alpha}}$ が $d$ によらない定数となるような $\alpha$ の値は $\alpha=\fbox{ア}$ である。$n=12$ のとき、$\sigma^2$ を具体的に計算すると

$$
\sigma ^2 = \frac{\fbox{イ}-\sqrt{\fbox{ウ}}}{\fbox{エ}}d^{\fbox{ア}}
$$

である。

（２）極限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{\beta}\sigma^2$ が $0$ でない有限の値に収束するような $\beta$ の値は $\beta=\fbox{オ}$ である。$\displaystyle d=\frac{1}{12\pi}$ のとき、その極限値は

$$
\lim_{n\to\infty}n^\fbox{オ}\sigma^2 = \frac{\fbox{カ}}{\fbox{キクケ}}
$$

である。

解答形式

ア〜カには、0から9までの数字が入る。
（１）の答えとして、文字列「アイウエ」を半角で1行目に入力せよ。
（２）の答えとして、文字列「オカキクケ」を半角で2行目に入力せよ。
なお、「ア」や「オ」には0や1が入ることもありうる。
また、分数はできるだけ約分された形で、根号の中身が最小となるように答えよ。
3行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

問題文

$4$ 点 $A,B,C,D$ は同一円周上にあり，その内部(辺上を含まない)に点 $P$ をとります．
また，線分 $AP,BP,CP,DP$ の垂直二等分線をそれぞれ $a,b,c,d$ とします．
$a,b$ の交点を $E$，$b,c$ の交点を $F$，$c,d$ の交点を $G$，$d,a$ の交点を $H$ とすると，$4$ 点 $E,F,G,H$ は同一円周上にあり，四角形 $EFGH$ の二本の対角線は $P$ で交わりました．
　そして，以下が成立しました：
$$HP=5,\quad HE=11,\quad EF=16$$
　このとき，$HG$ の長さの二乗は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

解答形式

非負整数を半角で入力してください．

問題文

$\triangle{ABC}$ の外接円を $O_1$ とし，辺 $CA$，辺 $CB$，円 $O_1$ に接する円を $O_2$ とします．また，円 $O_2$ と辺 $CA$ ，辺 $CB$，円 $O_1$ の接点をそれぞれ $P,Q,T$ とし，直線 $TP$ と円 $O_1$ の交点を ${R}(\ne{T})$ とし，直線 $TQ$ と円 $O_1$ の交点を $S(\ne{T})とします．$
$TA=23,TB=35,TC=57$ のとき，(四角形 $ARCS$ の面積):(四角形 $BSCR$ の面積)は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．