10次方程式

問題文

任意の自然数$m,n$に対し、$A(m,n)$は
$$
A(1,n) = n, \quad A(m+1,n) = \sum_{k=1}^{n}A(m,k)
$$を満たす。このとき、$A(x,y)=2024$を満たす自然数$x,y$の組$(x,y)$を求めよ。

解答形式

$x+y$の総和を半角で解答してください。

問題文

鋭角三角形ABCについて，外心をO，重心をG，垂心をH，内心をIとします．
$$AO=\dfrac{325}{24}, AH=\dfrac{125}{12}, AG=\sqrt{145}$$
であるとき，$AI$の2乗を答えてください．

解答形式

答えは非負整数なので非負整数値を入力してください．

問題文

図のような六角形ABCDEFがあります。∠FED= ∠EDC= ∠DCB=150°, ∠CBA=135°で,FE=ED=DC=CB,DB＝8cm,BA=4cmのとき,六角形ABCDEFの面積は何㎠ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

——————————————————————————————
問題文中に抜けている箇所があったので訂正しました。ご指摘ありがとうございました。

問題文

$∠$A=69°、$∠ $B=66°、$∠ $C=45°である三角形ABCがあります。辺AC上にAB=DBとなる点Dをとり、辺BC上にAB=AEとなる点Eをとりました。DBとEAの交点をFとします。三角形AFBの周りの長さが12cmの時、三角形ABCの面積の2倍と三角形ABFの面積の和は何cm$^2$ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

問題文

実数$x$は以下の条件をすべて満たす。

• $x$は有理数であり整数でない。
• $x$は$10$より大きい。
• $x$を既約分数で表したとき、分母は$20$であり分子は$17$の倍数である。
• $x-10$の小数点第一位を四捨五入した値と$\sqrt{x}$の小数点第一位を四捨五入した値は等しい。

このような$x$全てについて、$20x$の総和を求めよ。

問題文

実数に対して定義され実数値をとる関数 $f$ であって，任意の実数 $x,y$ に対して

$$f(x)f(y)=f(yf(x)+1)-2x$$

を満たすものが存在します．このような $f$ について，$f(3939)$ の値としてありうるものの総和を求めてください．

解答形式

答えは非負整数になるので，半角数字で解答してください。

問題文

下図は、直角二等辺三角形と正三角形と頂角が150°の二等辺三角形を組み合わせた図形です。直角二等辺三角形の面積が24㎠のとき、図形全体の面積を求めなさい。

解答形式

単位は㎠（単位は書かなくてよい）、数字は半角で入力してください。
例）10

【補助線主体の図形問題 #067】
　今週の図形問題です。中点と$30^{\circ}$を2個ずつ仕込んでいます。補助線でうまく活躍の場を与えてください。

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

【補助線主体の図形問題 #021】
　今回は久しぶりに面積関係の問題を用意してみました。複雑な計算は必要ありません。腕に覚えのある方はぜひ脳内だけでの処理に挑戦してみてください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}}
\def\jpara{\mathrel{\unicode{x2AFD}}}
\def\paraeq{\mathrel{\style{transform:translateY(-0.4em)}{\scriptsize{/\!/}} \hspace{-0.7em}{\style{transform:translateY(0.1em)}{=}}}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm^2$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm^2$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm^2$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

1. 全体の方針をぼんやりと
2. ヒント1の続き
3. ヒント2から導けること・その1
4. ヒント2から導けること・その2

【補助線主体の図形問題 #075】
${
\def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}}
}$　今週の図形問題のテーマは面積関係です。便宜的に$\mytri{ADP}$の面積を問うていますが、まずは$\mytri{ACP}:\mytri{ADP}$を経由すると考えやすいかと思います。想定解は暗算でも処理可能ですが、どうぞお好きなように解いてやってください！

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm^2$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm^2$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm^2$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

【補助線主体の図形問題 #020】
　今週の図形問題は円がらみの求長問題を用意しました。いつも通り暗算解法も仕込んであります。初等幾何猛者の方はぜひ脳内で処理しきってみてください。猛者とまではいかないという方もじっくりと挑戦してもらえたら嬉しいです！

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\def\myang#1{\angle \mathrm{#1}}
\renewcommand\deg{{}^{\circ}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

1. 全体方針をぼんやりと
2. ヒント1の続き
3. ヒント2をやや具体的に
4. ヒント3の続き

【補助線主体の図形問題 #046】
　バレンタイン直前なのを意識してこんな図形問題を用意してみました。イベント便乗の色物問題ですが、方針次第では暗算で処理できるのはいつも通りです。補助線と共に存分にお楽しみください。

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。