二項係数の極限

問題文

複素数の数列$\lbrace z_{n}\rbrace (n=0, 1, 2, ...)$は
$$
z_{n+1}=\left\lvert\frac{z_{n}+\bar{z_{n}}}{2}\right\rvert z_{n} (n=0,1,2,...)
$$
を満たしている。このとき，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}z_{n}$が収束するような$z_{0}$の存在範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答形式

この存在範囲を数式で表現してください。最も簡単な1つの等式あるいは不等式を用いてください。

問題文

勇者は座標平面上の原点 $(0,0)$ にいます． 勇者は点 $(6,6)$ まで $x$ 座標か $y$ 座標の少なくとも一方が整数である点のみを通って最短距離となるように移動します．

しかしながら，魔王の罠が直線 $\displaystyle{y=x+\frac{5}{2}}$ 上に張られていて，勇者は罠の張られている直線上を通るたびに $1$ ダメージずつ受けてしまいます．

勇者が最短距離で移動する道のりは ${}_{12}\mathrm{C}_6$ 通り考えられますが，それらすべてについて受けるダメージの平均値を求めてください．ただし，その平均値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ と書けるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

以下の関数$f(x)$の最小値の$2$乗を求めてください。($x$は実数)

$$
\begin{align}
f(x)= \ &\bigg\{48\lim_{N\rightarrow\infty}\Bigg(\sum_{k=0}^{N}\frac{\sqrt{N^2+k^2}}{N^2}\Bigg)-12\log\big(3+2\sqrt{2}\big)\bigg\}x^4\\
&+\sqrt{2} \ d\Bigg(\sum_{n=10}^{20}{}_n\mathrm{C}_{10}\Bigg)x^3-\bigg\{\max_{\theta\in\mathbb{R}}\bigg|\begin{pmatrix}96\\96\sqrt{7}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix}\bigg|\bigg\}x^2\\
&-768\sqrt{2}\Bigg(\mathrm{Re}\sum_{m=0}^{\infty}\Big\{2^{-\frac{m}{2}}\Big(\cos\frac{m\pi}{12}+i\sin\frac{m\pi}{12}\Big)\Big\}-\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigg)x+120\sqrt{2}
\end{align}
$$

ただし、$d(n)$は約数個数関数、縦書きの()はベクトル、$|A|$は絶対値、$\max_{\theta\in\mathbb{R}}f(\theta)$は$\theta$を実数範囲で動かしたときの$f(\theta)$の最大値、$\mathrm{Re}(z)$は$z$の実部を表します。

解答形式

非負整数を半角英数字で入力してください。

問題文

下の問題の積分の値を求めなさい。
$$ \int_0^\infty \frac{\ln(x)}{(x^2+1)^2} dx $$

解答形式

例）$-\frac{1}{2}$の場合
-1/2
と半角英数字で入力してください。

問題

$ｎ$を $0$ でない実数とします。以下の定積分を求めてください。

解答形式

答えだけでもいいですが、方針があると嬉しいです。

問題文

$x,y,z$は整数とする。また、$p$は素数とする。
$x^{4}+y^{4}+z^{4}-2x^{2}y^{2}-2y^{2}z^{2}-2z^{2}x^{2}-8x^{2}yz-8xy^{2}z-8xyz^{2}=p$となるとき、$p$の最小値を求めよ。また、$p$が最小値をとるとき、$x,y,z$の組を全て求めよ。

解答形式

$p$の最小値を$p$=~の形式で1行目に、$x,y,z$の組を$(x,y,z)$=~ の形式で2行目以降にすべて書いてください。ジャッジは自分でするのであまり気にしないで自由に回答してください。

問題文

実数$x$についての以下の方程式を解いてください。($0\leq x\leq 1$)
$$
\tan(\color{red}{\sin^{-1}x})+\cot(\color{blue}{\cos^{-1}x})=\sin(\color{green}{\cot^{-1}x})+\cos(\color{purple}{\tan^{-1}x})
$$
ただし$\cot{x}$は$\frac{1}{\tan{x}}$を意味し、$\sin^{-1}x,\cos^{-1}x,\cot^{-1}x,\tan^{-1}x$でそれぞれの逆関数を表すこととします。

（※定義域と値域の取り方はWikipedia等にあるような一般的なものを用います）

解答形式

解は一つに定まり、整数$a,b$を用いて$x=\sqrt{a+\sqrt{b}}$と書けるので、$a^{10}+b^{10}$の値を半角英数字で入力してください。

問題文

次の関数の極大値を求めよ。
y=|x^2-7x+10|+x

解答形式

半角数字でお願いします。

問題文

図のような、一目盛りが1cmの方眼に書いた図形があります。三角形ABCと三角形ACEは合同で、角ADF=90°です。DFは何cmですか。

解答形式

四捨五入して小数第2位まで、半角数字で答えてください。
例）$\frac{52}{3}$→17.33

問題文

図のような展開図を組み立てできる立体の体積は何㎤ですか。ただし、図は辺の長さが等しい正三角形と正方形と正六角形を組み合わせた図形で、正方形の面積は18㎠です。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

問題文

$p=2^{10} - 3$とおき, 数列$a_n, b_n$を以下の式で定める.
\begin{aligned}
&a_0=0,\quad a_1 = 1,\quad a_{n+2} = 2a_{n+1} +2a_n & (n=0,1,\dots) \\
&b_0=0, \quad b_1 = 1,\quad b_{n+2} = 2b_{n+1} +(p+2)b_n & (n=0,1,\dots)
\end{aligned}

(1) $a_n,b_n$をそれぞれ$n$で表せ.
(2) $a_{1024}$を$p$で割った余りを求めよ. ただし, 整数$m$に対して$m^p\equiv m\pmod{p}$であることを用いてもよい.

解答形式

(2) の解答を入力してください((1)は解答参照)

備考

本問は大学への数学2025年2月号6番に掲載された自作問題です.

問題文

赤い音符と青い音符の二種類の音符を横に並べたものを譜面と呼びます．
以下の条件を同時に全て満たすような譜面がいくつあるかを求めてください．

• その譜面の赤い音符と青い音符の合計はちょうど $17$ 個である．
• その譜面の最も左の音符は赤い音符である．
• その譜面の左から $2$ 番目の音符は青い音符である．
• その譜面から任意の $3$ つの連続する音符を抜き出したとき，それが左から順に
  「赤い音符，青い音符，赤い音符」にならない
• その譜面から任意の $3$ つの連続する音符を抜き出したとき，それが左から順に
  「青い音符，赤い音符，青い音符」にならない

解答形式

非負整数を半角数字で入力し解答してください。