ちょっと長い方程式

問題文

$p=2^{10} - 3$とおき, 数列$a_n, b_n$を以下の式で定める.
\begin{aligned}
&a_0=0,\quad a_1 = 1,\quad a_{n+2} = 2a_{n+1} +2a_n & (n=0,1,\dots) \\
&b_0=0, \quad b_1 = 1,\quad b_{n+2} = 2b_{n+1} +(p+2)b_n & (n=0,1,\dots)
\end{aligned}

(1) $a_n,b_n$をそれぞれ$n$で表せ.
(2) $a_{1024}$を$p$で割った余りを求めよ. ただし, 整数$m$に対して$m^p\equiv m\pmod{p}$であることを用いてもよい.

解答形式

(2) の解答を入力してください((1)は解答参照)

備考

本問は大学への数学2025年2月号6番に掲載された自作問題です.

問題文

解答形式

半角で入力してください。
また、必要であればe,πを用いてください。

問題文

以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0　―　(*)
$$
について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。

$(1)$ $P(2)$の値を求めよ。

(2)~(4)は，自作場合の数・確率1-2につづく

2025/01/07追記
解説をアップデート，全員に対して公開に設定

解答形式

分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答
例）$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答

問題文

互いに素な整数の辺 $a,b,l$（斜辺 $l$）を持つ直角三角形を考える。内接円の半径を $r$、周長を $L$、面積を $S$ とする。
$L^2=kS$ ($k$ は正の整数) を満たすとき、
全てのkの値を求めよ。

解答形式

半角1スペースおきに小さい順に並べてください

問題文

正八角形 $P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7P_8$があり, 各頂点に $0,1,2$ のいずれかの数字を $1$ つずつ書き込みます.
頂点 $P_i$ に書かれた数字のことを, $f(P_i)$ で表すこととします.

正八角形の頂点 $P_i$ が"孤独な頂点"であるとは, $f(P_i) \neq f(P_{i-1})$ かつ $f(P_i) \neq f(P_{i+1})$ を満たすことと定義します.
ただし, 便宜上 $f(P_0)=f(P_8),\ f(P_9)=f(P_1)$ であるとします.
また, 正八角形の"孤独な頂点"の個数を"孤独度"と呼ぶことにします.

正八角形の頂点に数字を書き込む方法は $3^8$ 通りありますが, それらすべてについて"孤独度"の総和を求めてください.

例：
$$(f(P_1), f(P_2), f(P_3), f(P_4),f(P_5), f(P_6), f(P_7), f(P_8)) = (0,1,2,1,2,1,2,0)$$ のときは $P_2,...,P_7$ が"孤独な頂点"となるので, この数字の書き込み方の"孤独度"は $6$ となります.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

問題文

座標平面において $A(0,4000),B(-3000,0),C(3000,0)$ をとります．次の条件をすべて満たすような直線 $\ell$ として考えられるものは何通りありますか．

• $\ell$ と直線 $AB$ は点 $P$ で交わり， $P$ の $x$ 座標は $-3000$ より大きく $0$ より小さい．
• $\ell$ と直線 $AC$ は点 $Q$ で交わり， $Q$ の $x$ 座標は $3000$ より大きい．
• 線分 $BP$ の長さと線分 $CQ$ の長さは整数値である．
• $\ell$ と $x$ 軸の交点を $R$ とするとき，$\triangle RPB$ と $\triangle RQC$ の面積は等しい．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

nを一桁の自然数とする。xについての多項式、

∫(0→x) (t^3 + {1/√(n-2)(n-3)(n-4)} t^-2 +1)^n dt

について、x^6の係数を自然数にするようなnを求めなさい。

解答形式

半角で一桁の数字を入力してください。

問題文

$\sqrt{N+\sqrt{8999\cdot9001}}$が実数となり二重根号が外れるとき、
整数$N$の値を全て求めてください。
ただし$9001$,$8999$は素数であることが保証されます。

また、二重根号が外れるとは、
その値を正の有理数$a,b\cdots$を用いて$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\cdots$と表せることをいいます。

解答形式

$N$として考えうる全ての値の総和を求めてください。

問題文

次の式を満足す実数 $N$ を求めなさい.

$$\sum_{k=1}^{2024}(2025-k) \cdot 2024^k \cdot 2025^{2024-k} = 2024^N$$

解答形式

$N$ をそのまま入力してください.

問題文

以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0　―　(*)
$$
について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。

$(3)$ $\lim_{n\to \infty}P(n)$を求めよ。

(4)は，自作場合の数・確率1-4につづく

2025/01/07追記
解説をアップデート，全員に対して公開に設定

解答形式

分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答
例）$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答

この問題は(3)です。自作場合の数・確率1-2を解いてから解くことをお勧めします。

問題

$(1)$　方程式 $12x^2+4xy-21y^2=32x-32y+3$ の整数解 $(x,y)$ を求めよ．
$(2)$　不等式 $z^2\lt a(a+1)z-a^3$ の奇数解 $z$ が二つとなる実数 $a$ の範囲を求めよ．

解答形式

$a^{xy}$ がとりうる整数の和を半角数字で入力してください．

問題文

座標平面上の $2$ 点 $A(14,0),B(-14,0)$ を考えます. また, $x$ 軸上にない格子点 $C (p,q)$ を $\triangle ABC$ が直角三角形とならないようにとります.
$$\tan \angle{ABC},\ \tan \angle{BCA},\ \tan \angle{CAB}$$
がこの順に等差数列となるとき, 点 $C$ として考えられるすべての座標に対して $p^2+q^2$ の総和を解答してください. ただし, 格子点とは $x$ 座標も $y$ 座標も整数であるような点のことを指します.

解答形式

答えは正の整数となるので, その整数値を半角で解答してください.