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ちょっと長い方程式

noname 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2024年4月8日14:40 正解数: 5 / 解答数: 6 (正答率: 83.3%) ギブアップ数: 1
不定方程式

全 6 件

回答日時 問題 解答者 結果
2025年5月14日0:07 ちょっと長い方程式 Weskdohn
正解
2024年9月9日22:55 ちょっと長い方程式 mits58
正解
2024年5月10日15:55 ちょっと長い方程式 aaabbb
正解
2024年5月10日15:49 ちょっと長い方程式 aaabbb
不正解
2024年4月12日21:59 ちょっと長い方程式 iwashi
正解
2024年4月11日13:55 ちょっと長い方程式 tima_C
正解

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Two sequences (学コン2025-2-6)

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問題文

p=2103とおき, 数列an,bnを以下の式で定める.
a0=0,a1=1,an+2=2an+1+2an(n=0,1,)b0=0,b1=1,bn+2=2bn+1+(p+2)bn(n=0,1,)

(1) an,bnをそれぞれnで表せ.
(2) a1024pで割った余りを求めよ. ただし, 整数mに対してmpm(modp)であることを用いてもよい.

解答形式

(2) の解答を入力してください((1)は解答参照)

備考

本問は大学への数学2025年2月号6番に掲載された自作問題です.

二項係数の和と極限

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問題文

解答形式

半角で入力してください。
また、必要であればe,πを用いてください。

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12

問題文

以下の2次方程式
x22ax+b=0  ()
について,自然数nを用いて以下の手順で係数a,bを定める。
a:n以上n以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
b:n以上n2以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし,できた2次方程式が実数解をもつ確率をP(n)とする。

(1) P(2)の値を求めよ。

(2)~(4)は,自作場合の数・確率1-2につづく

2025/01/07追記
解説をアップデート,全員に対して公開に設定

解答形式

分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答
例)12と答えたいときは 2 1 と回答

原始ピタゴラス数

sulippa 自動ジャッジ 難易度:
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問題文

互いに素な整数の辺 a,b,l(斜辺 l)を持つ直角三角形を考える。内接円の半径を r、周長を L、面積を S とする。
L2=kS (k は正の整数) を満たすとき、
全てのkの値を求めよ。

解答形式

半角1スペースおきに小さい順に並べてください

孤独な頂点

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14月前

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問題文

正八角形 P1P2P3P4P5P6P7P8があり, 各頂点に 0,1,2 のいずれかの数字を 1 つずつ書き込みます.
頂点 Pi に書かれた数字のことを, f(Pi) で表すこととします.

正八角形の頂点 Pi が"孤独な頂点"であるとは, f(Pi)f(Pi1) かつ f(Pi)f(Pi+1) を満たすことと定義します.
ただし, 便宜上 f(P0)=f(P8), f(P9)=f(P1) であるとします.
また, 正八角形の"孤独な頂点"の個数を"孤独度"と呼ぶことにします.

正八角形の頂点に数字を書き込む方法は 38 通りありますが, それらすべてについて"孤独度"の総和を求めてください.

例:
(f(P1),f(P2),f(P3),f(P4),f(P5),f(P6),f(P7),f(P8))=(0,1,2,1,2,1,2,0) のときは P2,...,P7 が"孤独な頂点"となるので, この数字の書き込み方の"孤独度"は 6 となります.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

突き刺す直線

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問題文

座標平面において A(0,4000),B(3000,0),C(3000,0) をとります.次の条件をすべて満たすような直線 として考えられるものは何通りありますか.

  • と直線 AB は点 P で交わり, Px 座標は 3000 より大きく 0 より小さい.
  • と直線 AC は点 Q で交わり, Qx 座標は 3000 より大きい.
  • 線分 BP の長さと線分 CQ の長さは整数値である.
  • x 軸の交点を R とするとき,RPBRQC の面積は等しい.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.


問題文

nを一桁の自然数とする。xについての多項式、

∫(0→x) (t^3 + {1/√(n-2)(n-3)(n-4)} t^-2 +1)^n dt

について、x^6の係数を自然数にするようなnを求めなさい。

解答形式

半角で一桁の数字を入力してください。

二重根号が外れる条件

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問題文

N+89999001が実数となり二重根号が外れるとき、
整数Nの値を全て求めてください。
ただし9001,8999素数であることが保証されます。

また、二重根号が外れるとは、
その値を正の有理数a,bを用いてa+b+と表せることをいいます。

解答形式

Nとして考えうる全ての値の総和を求めてください。


問題文

次の式を満足す実数 N を求めなさい.

2024k=1(2025k)2024k20252024k=2024N

解答形式

N をそのまま入力してください.

自作場合の数・確率1-3

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問題文

以下の2次方程式
x22ax+b=0  ()
について,自然数nを用いて以下の手順で係数a,bを定める。
a:n以上n以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
b:n以上n2以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし,できた2次方程式が実数解をもつ確率をP(n)とする。

(3) limnP(n)を求めよ。

(4)は,自作場合の数・確率1-4につづく

2025/01/07追記
解説をアップデート,全員に対して公開に設定

解答形式

分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答
例)12と答えたいときは 2 1 と回答

この問題は(3)です。自作場合の数・確率1-2を解いてから解くことをお勧めします。

No.06 二変数の整数解

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問題

(1) 方程式 12x2+4xy21y2=32x32y+3 の整数解 (x,y) を求めよ.
(2) 不等式 z2<a(a+1)za3 の奇数解 z が二つとなる実数 a の範囲を求めよ.

解答形式

axy がとりうる整数の和を半角数字で入力してください.

tanと等差数列

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問題文

座標平面上の 2A(14,0),B(14,0) を考えます. また, x 軸上にない格子点 C(p,q)ABC が直角三角形とならないようにとります.
tanABC, tanBCA, tanCAB
がこの順に等差数列となるとき, 点 C として考えられるすべての座標に対して p2+q2 の総和を解答してください. ただし, 格子点とは x 座標も y 座標も整数であるような点のことを指します.

解答形式

答えは正の整数となるので, その整数値を半角で解答してください.