高校数学欲張りセット的な（暇人用）

問題文

複素数の数列$\lbrace z_{n}\rbrace (n=0, 1, 2, ...)$は
$$
z_{n+1}=\left\lvert\frac{z_{n}+\bar{z_{n}}}{2}\right\rvert z_{n} (n=0,1,2,...)
$$
を満たしている。このとき，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}z_{n}$が収束するような$z_{0}$の存在範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答形式

この存在範囲を数式で表現してください。最も簡単な1つの等式あるいは不等式を用いてください。

問題文

以下の問いに答えよ．（自然数$n$について，$n!$ は，$1$ から $n$ までの自然数をすべてかけた値を表す．ただし$0!=1$とする．）

1. $r^m=\frac{r^m-r^{m+1}}{1-r}$ という式変形を用いて，$s<t$ を満たす自然数組 $(s,t)$ と， $r<1$ を満たす実数 $r$ について，$$r^s+r^{s+1}+\cdots+r^t=\frac{r^s-r^{t+1}}{1-r}$$ となることを示せ．

2. 自然数組 $(a,i)$ について $a^i < i!$ が成立するなら，$i$ 以上の任意の自然数 $j$ で $$a^j < j!$$ となることを示せ．

3. 自然数組 $(a,i,k,n)$ について，$f(k)=k!-a^k$ ，$g(k)=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{k!}$ とする．
   $i<n$ ，$f(i)> 0$ を満たすとき，$$g(n)< g(i-1)+\frac{1}{a^i-a^{i-1}}-\frac{1}{a-1}\left( \frac{1}{a} \right)^n$$となることを示せ．

4. $n>4$ を満たす自然数 $n$ について，$$g(n)<\frac{67}{24}$$ となることを示せ．

解答形式

私に伝わる程度でよいので、軽めに記述してください。

ヒントの内容

1. 「3.」のヒント
2. 「4.」のヒント

問題

$1〜100$の数字が書かれた$100$面のさいころを$3$回投げて出た目を順に$x,y,z$とし、$a=x+y、b=y+z、c=z+x$と定めます。このとき、不等式$$\frac{1}{2} <\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} $$が成り立つ確率を求めてください。

解答形式

互いに素な非負整数$n,m$を用いて、$\frac{n}{m}$と表されるので、$n+m$の値を半角数字で入力してください。

問題文

縦 $5$ 列、横 $8$ 列、合計 $40$ 個の机があり、これらの上に合計 $8$ 冊の本を置くことを考えます。 どの縦・横の列にも最低 $1$ 冊の本が置かれた机のある本の置き方は何通りありますか？
ただし、同じ列に本が置かれた机が複数あっても構いません。

解答形式

非負整数を半角で入力してください。

備考

解答に誤りがあったため再投稿

問題文

下の問題の積分の値を求めなさい。
$$ \int_0^\infty \frac{\ln(x)}{(x^2+1)^2} dx $$

解答形式

例）$-\frac{1}{2}$の場合
-1/2
と半角英数字で入力してください。

問題文

$\alpha$を$0<$$\alpha$$<\frac{\pi}{6}$をみたす実数とします。
tan$\alpha$ , tan$2\alpha$ , tan$3\alpha$ がこの順に等比数列をなすような$\alpha$の値は$\frac{\pi}{n}$の形で表されます。$n$を答えてください。

解答形式

半角数字で答えてください

問題文

次の極限を求めてください。
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^n\frac{{}_nC_k}{(k+1)(n+1)^k}$$

解答形式

解答に分数や特殊な文字、累乗を使用したい場合はTeX記法に則ってください。$は必要ありません。

問題文

実数$x$についての以下の方程式を解いてください。($0\leq x\leq 1$)
$$
\tan(\color{red}{\sin^{-1}x})+\cot(\color{blue}{\cos^{-1}x})=\sin(\color{green}{\cot^{-1}x})+\cos(\color{purple}{\tan^{-1}x})
$$
ただし$\cot{x}$は$\frac{1}{\tan{x}}$を意味し、$\sin^{-1}x,\cos^{-1}x,\cot^{-1}x,\tan^{-1}x$でそれぞれの逆関数を表すこととします。

（※定義域と値域の取り方はWikipedia等にあるような一般的なものを用います）

解答形式

解は一つに定まり、整数$a,b$を用いて$x=\sqrt{a+\sqrt{b}}$と書けるので、$a^{10}+b^{10}$の値を半角英数字で入力してください。

問題

$ｎ$を $0$ でない実数とします。以下の定積分を求めてください。

解答形式

答えだけでもいいですが、方針があると嬉しいです。

問題文

図のような展開図を組み立てできる立体の体積は何㎤ですか。ただし、図は辺の長さが等しい正三角形と正方形と正六角形を組み合わせた図形で、正方形の面積は18㎠です。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

問題文

素数 $p$ と正の整数 $n$ が、以下の等式を満たすとします。
$$\frac{n^2+np+p^2}{n+p} = 2p-1$$
このような組 $(n,p)$ を全て求めてください。

解答形式

解が有限個であるとされた場合は、全ての解と、それ以外に解が存在しないことの証明を、簡単で構わないのでお願いします。無限個とされた場合は証明いらないので、何らかの形で解を表してください。証明に完全性がないと見なした場合は、採点機能がない都合上、99点をあげたいところも不正解とさせていただきます

問題文

図のような、一目盛りが1cmの方眼に書いた図形があります。三角形ABCと三角形ACEは合同で、角ADF=90°です。DFは何cmですか。

解答形式

四捨五入して小数第2位まで、半角数字で答えてください。
例）$\frac{52}{3}$→17.33