tanと等差数列

問題文

すべての正整数 $n$ に対して $a_{n+1}=a_{n}+a_{n+2}$ を満たす数列 $\{a_n\}$ に対して、次の式が成立する。

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{2^n}=1998, \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{3n}}{3^n}=1106$$

この時、$|a_{1998}a_{1106}|$を求めよ。

解答形式

答えをそのまま入力しなさい。

問題文

座標平面において $A(0,4000),B(-3000,0),C(3000,0)$ をとります．次の条件をすべて満たすような直線 $\ell$ として考えられるものは何通りありますか．

• $\ell$ と直線 $AB$ は点 $P$ で交わり， $P$ の $x$ 座標は $-3000$ より大きく $0$ より小さい．
• $\ell$ と直線 $AC$ は点 $Q$ で交わり， $Q$ の $x$ 座標は $3000$ より大きい．
• 線分 $BP$ の長さと線分 $CQ$ の長さは整数値である．
• $\ell$ と $x$ 軸の交点を $R$ とするとき，$\triangle RPB$ と $\triangle RQC$ の面積は等しい．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

$n$を自然数とします。$n$個の複素数からなる組$z(n)=(z_1,z_2,z_3,……z_n)$について、$z(n)$の要素からの異なる$i$個の選び方全てについてそれら(選んだ$i$個の要素)の総積を求め、それら(全ての選び方)の総和を$S(z(n),i)$とします。ある組$z(2024)$が存在して$$S(z(2024),1)=S(z(2024),2)=S(z(2024),3)=……S(z(2024),2022)=0,S(z(2024),2024)=-2$$を満たすとき、$$(z_1)^{2024}+(z_2)^{2024}+(z_3)^{2024}+……+(z_{2024})^{2024}$$の値は実数になるのでそれを計算して答えてください。

解答形式

値を1行目に半角で入力してください。

問題文

$f_0=0,f_1=1,f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$で定義された数列において、$f_p$が$p$の倍数となるような素数$p$を全て求めてください。

解答形式

計算式全てを書く必要はないので論証の概略と答えを書いてください。

問題文

次の式を満足す実数 $N$ を求めなさい.

$$\sum_{k=1}^{2024}(2025-k) \cdot 2024^k \cdot 2025^{2024-k} = 2024^N$$

解答形式

$N$ をそのまま入力してください.

問題文

正八角形 $P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7P_8$があり, 各頂点に $0,1,2$ のいずれかの数字を $1$ つずつ書き込みます.
頂点 $P_i$ に書かれた数字のことを, $f(P_i)$ で表すこととします.

正八角形の頂点 $P_i$ が"孤独な頂点"であるとは, $f(P_i) \neq f(P_{i-1})$ かつ $f(P_i) \neq f(P_{i+1})$ を満たすことと定義します.
ただし, 便宜上 $f(P_0)=f(P_8),\ f(P_9)=f(P_1)$ であるとします.
また, 正八角形の"孤独な頂点"の個数を"孤独度"と呼ぶことにします.

正八角形の頂点に数字を書き込む方法は $3^8$ 通りありますが, それらすべてについて"孤独度"の総和を求めてください.

例：
$$(f(P_1), f(P_2), f(P_3), f(P_4),f(P_5), f(P_6), f(P_7), f(P_8)) = (0,1,2,1,2,1,2,0)$$ のときは $P_2,...,P_7$ が"孤独な頂点"となるので, この数字の書き込み方の"孤独度"は $6$ となります.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

問題

次の関数が $|x-a|\leqq 1$ のもとで負の値と素数の値域幅をとるとき，$\sqrt b$ の平均を求めよ．

• 二次関数 $y=f(x)$ のグラフは曲線 $y=x^2$ と接しつつ点 $(a,b)$ で対称となる．

解答形式

$100$ 倍した整数部分を半角数字で入力してください．

※　問題を一部修正しました．今後も手直しが続く可能性があります．

$100\times 100$ のマス目があります. 上から $i$ 行目, 左から $j$ 列目のマスを $100(i-1)+j$ と呼ぶことにします. SMC 君は一般的な $6$ 面サイコロを $10000$ 回振り, $i$ 回目に振って出た目をマス $i$ に書き込みます. このとき, 以下の条件を満たす確率を $p$ とするとき, $6^{10000}p$ は整数になるので, 素数 $3299$ で割った余りを求めてください.

• 任意の行について, その行のマスに書かれた整数の総和は偶数.
• 任意の列について, その列のマスに書かれた整数の総和は $3$ の倍数.

問題文

$10$人で輪になってじゃんけんをするとき，どの隣り合う$3$人も「あいこ」にならないような手の出し方は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

$AB=20,CD=23,AD=12,BC=31$ を満たす四角形 $ABCD$ について，三角形 $ABD$ の内心を $I_1$ とし，三角形 $BCD$ の内心を $I_2$ とします．
$I_1I_2$ と $BD$ の交点を $X$ とすると $DX=\dfrac{12}{31}$ となったとき，$BX$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

正の実数 $a,b,c,d$ が $\Bigg\{\begin{aligned}
a+\dfrac{b}{4}+\dfrac{c}{9}+\dfrac{d}{16}=25 \\
\dfrac{49}{a}+\dfrac{64}{b}+\dfrac{81}{c}+\dfrac{100}{d}=36
\end{aligned}$ の $2$ 式を満たすとき，$d$ の最小値は最大公約数が $1$ の正の整数 $p,q,r$ を用いて $\dfrac{p-\sqrt{q}}{r}$ と表されるので，$p+q+r$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について, 垂心を $H$, 内心を $I$, 外心を $O$ とし, また, $C$ から $AB$ に下した垂線の足を $D$, $B$ から $AC$ に下した垂線の足を $E$, $A$ から $BC$ に下した垂線の足を $F$ とします. すると, $H,I,O$ は相異なり, かつ $AH=AO=10,HI:HO=41:80$ が成立しました. このとき, $DF+EF$ は互いに素な正整数 $a,b$ と平方因子を持たない正整数 $c$ によって, $\cfrac{b \sqrt{c}}{a}​​$ と表されるため, $a+b+c$ の値を解答して下さい.

解答形式

半角整数値で解答して下さい.