凸四角形$ABCD$は$\angle{BAC}$$=$$12^\circ$$,$$\angle {CAD}$$=$$30^\circ$$,$$\angle{ACD}$$=$$24^\circ$$,$$AB=CD$を満たします.このとき、$\angle{ADB}$の値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$度となるので、積$ab$の値を求めてください.
半角数字で解答してください.
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三角形$ABC$は$|AB|=84$、$|BC|=|CA|=72$を満たす二等辺三角形です。この三角形の垂心を$H$、頂点$A, B, C$から延びる垂線の足をそれぞれ$D,E,F$と置きます。さらに、直線$CF$上に$|DF|=|DG|$を満たす$F$でない点$G$をとります。この時、四角形$DFEG$の面積は互いに素な正整数$p,r$と平方因子を持たない数$q$を用いて$\dfrac{p\sqrt{q}}{r}$と表されるので、$p+q+r$を解答してください。ただし、$|AB|$で$AB$間の距離を表すものとします。
半角数字で解答してください。
正四面体ABCDを考える。正四面体の全ての面に接する内接球の中心を点O、∠AOB=θと定める。
θと108°のうちどちらの方が大きいか。
θの方が大きい場合はA、108°の方が大きい場合はB、θ=108°の場合はCと半角入力してください。
自然数 $x$ に対して, $d(x)$ で $x$ の正の約数の個数を表します. $$d(4n-1)+d(4n)=8$$ を満たす自然数 $n$ について, 小さいほうから $7$ 個の総和を求めてください.
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.
追記 =8 のところ =6 と書いてしまっていたため訂正しました 大変申し訳ありません
下図で、AB=AF=BC=CD=EB、$∠$EAB=80°、$∠$ABC=40°です。 $∠$FDEの大きさは何度ですか。
半角数字で入力してください。 例)10
円 $\Omega$ があり,その周上に点 $P, Q$ があります.いま,$\Omega$ の弧 $PQ$ 上に $2$ 点 $A, B$ を,$P, A, B, Q$ がこの順にあるように取り,線分 $PQ$ 上に点 $C$ を取ると,三角形 $ABC$ の外接円は辺 $PQ$ に接しました.いま,$CQ$ の中点を $M$ とすると,$BM, AQ$ は三角形 $ABC$ の外接円上で交わったのでこの点を $R$ とします.いま,三角形 $ABC$ の外接円と三角形 $PQR$ の外接円の $R$ でない交点を $S$ とするとき, $$AS=4, AP=2\sqrt{21}, BC=7$$ が成立しました.このとき,$BQ$ の長さは正整数 $a, b, c$ を用いて $\dfrac{\sqrt a-\sqrt b}{c}$ と表せるので,$a+b+c$ を解答してください.
半角数字で解答してください.
$0$ 以上 $1$ 以下の実数の組 $(x_0 , x_1 ,\ldots, x_{100})$ と正の実数の組 $(y_0 , y_1 ,\ldots ,y_{100})$ が以下の条件を満たしました. $$ x_ny_n=n(0\leq n\leq 100),\quad y_0=2,\quad y_{100}=260 $$ この時,以下の値の最小値を求めてください. $$ \sum_{k=0}^{99} \left(\sqrt{y_k^2+y_{k+1}^2-2y_ky_{k+1}\Bigl( x_kx_{k+1}+\sqrt{(1-x_k^2)(1-x_{k+1}^2)}\Bigr)}\right) $$
求める値は $\sqrt{m}$ と表せるので, $m$ の値を半角数字で解答してください.
Weskdohn君は,次のゲームを行うことになりました.
正$733$角形のマークが書かれたカードW:$W_1W_2 \ldots W_{733}$から一枚選ぶ操作をOPE1と言い,これを$X$回繰り返します. 但し$X$について次の事実がわかっています.
正$3$角形のマークが書かれたカードS:$S_1S_2 S_3$と正$281$角形のマークが書かれたカードN:$N_1N_2 \ldots N_{281}$ について,それぞれ一枚ずつ取り出す操作をOPE2といい,OPE2を973回繰り返した場合の数を$X$通りとする.
ゲームで選んだカードWの組み合わせは$Y$通りと書けるので,$Y_{[9]}$の下三桁$n$を求めて下さい.
但し,異なる番号が振られた同じ種類のカード(例えば$E_d$と$E_h$)は互いに区別できるとし,また$O_{[K]}$は,$O$を$K$進法で書いた時の値とします.
求めた値を,半角で入力して下さい. ex)答えが6106→6106と入力. また,001のような数値が答えの場合は、0をなくさず001のまま回答して下さい.
正整数 $N$ が 素直 であるとは以下の条件をともに満たすことを言います.
素直な整数の総和を解答してください.
答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.
三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし、$AH$ と $BC$ の交点を $D$、$BC$ の中点を $M$ とすると、$B,D,M,C$ がこの順に並びました。$AH$ を直径とする円と $AM$ の交点のうち $A$ でない方を $X$ とすると、$∠CXM=∠BAM$ でした。$BD=23,DM=42$ のとき、三角形 $ABC$ の面積を解答してください。
半角数字で入力してください。
$5^n$ の十進法における上一桁の数が $1,2,3$ のいずれかであるような $9999$ 以下の正整数 $n$ はいくつありますか.ただし,$5^{9999}$ は十進法において $6990$ 桁であり,上一桁の数は $1$ です.
$17$で割り切れ、各桁の数の和も$17$で割り切れるような正整数を$\textbf{良い数}$と呼びます。$\textbf{相異なる}$良い数同士の差の絶対値としてあり得る最小値を求めなさい。
不備が見つかったため、答えを変更しました。本当に申し訳ございません。
$1$ 以上 $20^{24}$ 以下の整数 $N$ であって、次の条件を満たすものはいくつあるか。
条件: 何度でも微分可能な実数値関数 $f$ であって、ある実数 $x$ に対して $f(x)\ne0$ であり、さらに任意の実数 $x$ に対して $$\frac{f(x)}{N}=f\left(\frac{x-1}{2}\right)+f\left(\frac{x+1}{2}\right)$$ を満たすようなものが存在する。
条件を満たす $N$ の個数を、半角数字で1行目に入力せよ。 2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。