階乗の級数

関数列 $\{f_n\}_{n=0,1,\dots}$ が以下を満たします.

• $f_{0}(x)=e^{e^x}$
• $f_{n}(x)=\dfrac{d}{dx}f_{n-1}(x)\quad (n=1,2,\dots)$.

また, 実数列$\{A_n\}_{n=1,2,\dots}, \{B_n\}_{n=1,2,\dots}$を以下のように定義します.

• $\displaystyle A_n=\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{-x}f_{n}(x)$ .
• $\displaystyle B_n=\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{-x}\big(e^{-x}f_{n}(x)-A_n)$.

$B_{24}$ の値を求めてください.

問題文

図のような、一目盛りが1cmの方眼に書いた図形があります。三角形ABCと三角形ACEは合同で、角ADF=90°です。DFは何cmですか。

解答形式

四捨五入して小数第2位まで、半角数字で答えてください。
例）$\frac{52}{3}$→17.33

問題文

$2000$ 以下の非負整数 $a$ に対し，数列 $c_{n}$ が以下をみたします.
$$c_{1}=a,　c_{2}=2000-a,　c_{n+2}=c_{n+1}+c_{n}$$
このとき，$c_{2^{4333}}$ が $47^2$ の倍数となるような $a$ としてありうる値の総和を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

問題文

正の実数 $x,y,z$ が $xyz=x+y+z+2$ を満たしています．このとき， $x+4y+9z$ の最小値を求めてください．

解答形式

答えを入力してください．

問題文

$x$ についての方程式 $xe^{2\sqrt{x}}=9(\log{3})^2$ の実数解を求めよ。

解答形式

解をすべて答えてください。値の小さい順に1行目から入力してください。
なお，解答にあたって，特殊な数式は次のように入力してください。

対数：$\log_n{m}$ = \log_{n}{m}, $\log{m}$ = \log{m}
指数（$\sqrt{m} = m^{\frac{1}{2}}$もすべて指数として入力してください）：$n^{m}$ = n^{m}
分数：$\frac{a}{b}$ = \frac{a}{b}

問題文

三辺の長さがa!、b!、c!(a,b,cは自然数)となる直角三角形は存在するか。

解答形式

存在するならば組(a,b,c)を1組入力してください。存在しないならば、存在しないことを証明してください。(簡単にでいいです)

問題文

$n$を自然数とする。$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} n^k$を$8$で割った余りを$a_{n}$、 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$とする。すべての$n$に対して$a_{n+l}=a_{n}$が成り立つような自然数$l$の最小値と$S_{m+2025}=2S_{m}$が成り立つような自然数$m$の最大値を求めよ。

解答形式

1行目に$l$を,2行目に$m$を半角英数字で解答してください。例えば$l=123,m=456$とする場合

123
456

としてください。

問題文

$$S_{n}=(n-2)a_{n+1}$$$$a_{1}=1$$$$\lim_{n\to \infty}S_{n}が有限の値に収束する。$$$$このとき、a_{3}の値を求めよ。$$$$ただし、S_n=a_1+a_2+･･･+a_nである。$$

解答形式

$$a_{3}の値を半角数字で入力してください。$$

問題

次の実数 $a,b,c$ に対し，つねに $|ax+by|\leqq |c|$ となる実数 $x,y$ の和の値域幅を求めよ．

• $p,q$ の連立方程式 $ap+bq=c,\ (b-c)p+(c+a)q=a+7b$ は解を複数個もつ．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

三角形 $ABC$ があり，以下が成り立っています：

$$AB = 7 ,　\angle A + 2\angle C = 60^{ \circ } .$$

いま，辺 $BC$ 上に $\angle CAP = 3\angle BAP$ をみたす点 $P$ をとり，さらに辺 $AC$ 上に $\angle APQ = 2\angle ACB$ をみたす点 $Q$ をとったところ，$BQ = 2$ が成立しました．このとき，線分 $AC$ の長さは互いに素な正整数 $a , b$ を用いて $\dfrac{ a }{ b }$ と表せるので，$a + b$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

図のようなあるへこみのない立体の展開図があります。同じ色の辺の長さは等しくなっていて、青の辺の長さは3cmです。また、青の辺2本と黒の辺1本でできている三角形は直角二等辺三角形で、緑の辺2本と黒の辺1本でできている三角形の面積は13.5㎠です。赤い辺6本でできている六角形は正六角形で、その面積は黒い辺を一辺とする正三角形の面積の2倍です。
この展開図をくみたててできる立体の体積は何㎤ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）524

問題文

縦 $5$ 列、横 $8$ 列、合計 $40$ 個の机があり、これらの上に合計 $8$ 冊の本を置くことを考えます。 どの縦・横の列にも最低 $1$ 冊の本が置かれた机のある本の置き方は何通りありますか？
ただし、同じ列に本が置かれた机が複数あっても構いません。

解答形式

非負整数を半角で入力してください。

備考

解答に誤りがあったため再投稿