平方数

問題文

$∠BAC=30°$、$BC =3$である$△ABC $について、$AB$の最大値を解答してください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

以下の式を満たす任意の正整数の組$(x,y)$について、$xy$としてありうる値の総和を求めて下さい。
$$
x^{y}=y^{x-y}
$$

解答形式

半角数字で解答して下さい。

問題文

$A$ さんを含む $10$ 人の選手がゲームの格ゲー大会総当たり形式で行いました．
　$A$ さん以外の $9$ 人の選手は以下の条件を満たしているとき， $A$ さんの勝利した回数としてあり得るものの総和を求めてください．
　しかし，引き分けは考えないものとします．

• $9$ 勝 $0$ 敗の選手がちょうど $1$ 人いる．
• $7$ 勝 $2$ 敗の選手がちょうど $1$ 人いる．
• $6$ 勝 $3$ 敗の選手がちょうど $3$ 人いる．
• $2$ 勝 $7$ 敗の選手がちょうど $3$ 人いる．
• $0$ 勝 $9$ 敗の選手がちょうど $1$ 人いる．

解答形式

非負整数を半角数字で答えてください．

問題文

$\lim\limits_{n\to\infty} n\sin\frac{2π}{n} = mπ$ である。
$m$の値を求めよ。

解答形式

$m$は2つの実数$a,b$を使って $\frac{a}{b}$と表せる。
$m$を分母が有理化された既約分数の形にした時の$a+b$を解答すること。

問題文

一辺の長さが $12$ の正方形 $ABCE$ の外部に点 $D$ を、三角形 $CDE$ が正三角形になるようにとります。
正方形 $ABCE$ の外接円と直線 $DE$ の交点のうち $E$ でない方を $F$ とするとき、$AF^2$ の値を解答してください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

方程式 $e^{nx}+x-2=0$ の正の解を$\alpha_n$とおきます．極限$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (1+\alpha_n)^n$を求めて下さい．

解答形式

例）半角数字で解答して下さい．

問題

$P(x)$ は整数係数の monic な (最高次の係数が1の) 3次多項式 であるとする。方程式 $P(x) = 0$ は、相異なる3つの整数解を持 つことが分かっている。
$P(0)＝6$
$P(1)＝4$
のとき、$P(4)$の値を求めよ。

解答形式

半角でスペースなし

問題

自然数a b c について
abc-ab-a=17
a<b<c
となる自然数のa b c の組の数を答えなさい

解答形式

半角数字で答えてください

問題文

$n^4+4n^2-38n+69$ が平方数となるような正整数 $n$ の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

関数$f(x,y)=x²+y²-2x+4y+1$の最小値とそのときの$x,y$の値を求めよ。
ただし、$x,y$はいずれも実数とする。

解答形式

x=𓏸𓏸,y=𓏸𓏸で、最小値𓏸𓏸と答えてください
数字は全て半角で答えてください

工夫して答えなさい。

99×99＝？

問題文

実数 $x,y$ が $\bigg\{\begin{aligned}
20x+12y=20 \\
23x+31y=24
\end{aligned}$ の $2$ 式を満たすとき，$2023x+1231y$ の値を求めて下さい．

解答形式

半角数字で解答してください．