数列 ${a_n},{b_n},{c_n}$ を,$a_0=73,b_0=1227,c_0=5355$ および以下の式で定める: $$(a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1})=(2b_n-a_n^2,b_n^2-2a_nc_n,-c_n^2)$$ $b_{404}$ を $5000$ で割った余りを求めよ.
半角整数で解答してください.
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直径 $10$ の円周上に $120$ 個の異なる点 $A_1,\ldots, A_{120}$があります.$120$ 個の点のうち $2$ 点を選ぶ方法は ${}_{120}\mathrm{C}_{2}$ 通りあります.この ${}_{120}\mathrm{C}_{2}$ 通りすべての二点の距離の総積の最大値を $M$ としたときに,$M$ は整数値になるので,$M$ の正の約数の個数を答えてください.
半角数字で解答してください.
$x,y$を整数とします。次の式を満たす$x,y$の組$(x,y)$を全て求めてください。$$x^2y^2+3x^2y-12xy^2-5x^2-36xy+25y^2+60x+78y=123$$
$x$と$y$の積$xy$としてあり得るものの総和を半角で解答してください。
以下の値を求めてください。 $$ \sum_{1\leqq m<n\leqq 9} \biggl(\cos\dfrac{m\pi}{10}+\cos\dfrac{n\pi}{10}+1\biggr)^3 $$
答えは正整数になるので、それを半角数字で解答してください。
小さい方から $n$ 番目の素数を $p_{n}$ とおく。 次の極限を調べよ。 $$ \lim_{n\to \infty}\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{7}{6}\cdot\frac{11}{10}\cdot\frac{13}{12}\cdots\frac{p_{n}}{p_{n}-1} $$
以下のように入力してください。 正の無限大に発散する場合 : ∞ 負の無限大に発散する場合 : -∞ 振動する場合 : 振動
半角英数字で入力してください。 分数は規約分数で1つにまとめて{分子}/{分母}の形で入力してください。 累乗は{底}^{指数}の形で入力してください。根号は累乗の形に直してください。 対数は自然対数に揃えてlog{真数}の形で入力してください。 自然対数の底はe,円周率はπと表記してください。 例1) $\sqrt{2} e^{3}$ の場合 : {2}^{{1}/{2}}{e}^{3} 例2) $\log_{2}3$ の場合 : {log{3}}/{log{2}}
方程式 $e^{nx}+x-2=0$ の正の解を$\alpha_n$とおきます.極限$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (1+\alpha_n)^n$を求めて下さい.
例)半角数字で解答して下さい.
$a_1+2a_2+3a_3=n$ を満たす非負整数の組 $(a_1,a_2,a_3)$ 全てについて, $$\frac{(a_1+a_2+a_3)!}{a_1!\times a_2!\times a_3!}$$ の総和を $f(n)$ とします. $f(n)\equiv 6 \pmod{12}$ を満たす最小の正整数 $n$ を求めてください.
下図のようにブロックがピラミッド状に積んであり,各ブロックに $1$ つずつ整数を割り当てていきます.このとき,最下段に並ぶブロックが $N$ 個であるとき,以下の条件を満たすように整数を割り当てることとします. ・ 最下段の左端のブロックには $1$ を,右端のブロックには $N−2$ を,また左から $i$ 番目のブロック $(2 \leq i \leq N−1)$ には $i−1$ をそれぞれ割り当てる. ・最下段以外のブロックには,そのすぐ下に位置する左右 $2$ つのブロックに割り当てられた数の積を割り当てる.
最も上にあるブロックに割り当てられた整数を $N−1$ で割った余りを $f(N)$ とします.このとき,$f(10^9 + 8) + f(10^9 + 404)$ の値を解答して下さい.ただし, $10^9 + 7, \ 5×10^8 + 3, \ 10^9 + 403, \ 5×10^8 + 201$ はいずれも素数であることは既知としてよいです.
例)半角数字で解答して下さい.
$64$個の球 $a_0,a_1,...a_{63}$それぞれを白色と黒色で塗り分ける方法で、以下の条件を満たすものは何通りありますか
・任意の整数 $i,j$ $(0\leqq i\leqq7,0\leqq j\leqq4)$ に対し、 $\lbrace a_{8i+j},a_{8i+j+1},a_{8i+j+2},a_{8i+j+3}\rbrace$ に含まれる白色の球と黒色の球が共に偶数個 かつ、 任意の整数 $k,l$ $(0\leqq k\leqq4,0\leqq l\leqq7)$ に対し、 $\lbrace a_{8k+l},a_{8k+l+8},a_{8k+l+16},a_{8k+l+24}\rbrace$ に含まれる白色の球と黒色の球が共に偶数個
半角数字で解答してください.
以下の[条件]を満たす $3$ 桁の正の整数(つまり,$100$ 以上 $999$ 以下の正の整数)の組 $(A,B)$ すべてに対し,$A+B$ の値の総和を解答してください.
[条件] $A^2$ の下 $3$ 桁は $B$ であり,$B^2$ の下 $3$ 桁は $A$ である.
非負実数 $x,y,z$ が $x+y+z=1$ を満たすとします. $$ x^{5001}y^{5002} + y^{5001}z^{5002} +z^{5001}x^{5002} $$ の最大値は,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができます.$a+b$ を素数 $4999$ で割った余りを求めてください.
三角柱 $ABC-DEF$ があり,いま点 $P$ は頂点 $A$ にいます.点 $P$ が隣り合う頂点に移動する操作を $12$ 回繰り返して点 $A$ に戻るように移動する方法すべてに対して,上下に移動する回数の総和を求めてください.
ただし上下に移動するとは,頂点 $A,B,C$ のいずれから頂点 $D,E,F$ のいずれかに移動すること,またその逆を意味します.
$f(n)=n ^{15}+21n^{10}+147n^5+343$ とします. 正整数 $n$ に対して, $f(n)$ が $5^m$ で割り切れるような最大の非負整数 $m$ を $g(n)$ と定めます.$10000$ 以下の正整数 $k $であって $g(n)=k $ を満たす正整数 $n$ が存在するような $k$ の総積を $3343$ で割った余りを解答してください.ただし,$3343$ は素数です.
非負整数を解答してください.