逆関数の積分

（かつて別のサイトに乗せたことがある問題です。）

問題文(50点)

$xy$平面で楕円について考察したい。以下の設問に答えよ。ただし、$a>c\geq0$とする。

①：長半径が$a$、焦点が$(0,0)$と$(-2c,0)$である楕円の方程式を定義から導け。(15点)

ここで、以下の様に$r,\theta$を導入する。

$$r=\sqrt{x^2+y^2},\ \cos\theta = \frac{x}{r},\ \sin\theta = \frac{y}{r}$$

また、$q$を以下の様に定義する。
$$q = \frac{c}{a}$$

このとき、①の楕円において次が成り立つ。

$$r=\frac{a(1-q^2)}{1+q \cos\theta} \tag{i}$$

②： $\ (\mathrm{i})\ $を示せ。(15点)

③： ①の楕円を原点周りに30°回転させた図形を$C$とする。また、$C$と$x$軸の交点をそれぞれ$A、B$とし、線分$AB$の長さを$L(q)$とする。$a$を定数として、$L(q)$の最大値及びそのときの$q$を求めよ。さらに、$L(q)$が最大になるとき、$C$はどのような図形か、その特徴を述べよ。(20点)

解答形式

入試本番や模試のような形で、記述形式で解答してください。
少し遅くなってしまうかも知れませんが、採点もさせていただきます。

注意

• 解説は正解者のみに公開される設定になっています。ですが、ヒントの欄に書いてあることと全く同じなので、正解できなかった場合もヒントをみて納得してもらえるとよいと思います。

もし余裕があれば...

• 問題の感想を教えてくれると嬉しいです。特に、難易度感や、教育的意義についてコメントしてくれると助かります。

• 例えば、この設問が完答できる生徒のレベル感などを予想してもらえると助かります。

問題文

$$ I_n=\int_{1}^{n}\log x dx $$
とする。ただし$n$は非負の整数。以下の設問に答えよ。ただし、必要ならば以下の式を用いてよい。
$$ e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$$

1. $I_n \leq \log n! \leq I_{n+1}$を示せ。(20点)
2. $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n!}{(n+1)^n}$を求めよ。(30点)

解答形式

入試本番や模試のような形で、記述形式で解答してください。
少し遅くなってしまうかも知れませんが、採点もさせていただきます。

注意

解説は正解者のみに公開される設定になっています。ですが、ヒントの欄に書いてあることと全く同じなので、正解できなかった場合もヒントをみて納得してもらえるとよいと思います。

もし余裕があれば...

• 問題の感想を教えてくれると嬉しいです。特に、難易度感や、教育的意義についてコメントしてくれると助かります。

• 例えば、以下のような観点でコメントしてくれると嬉しいです。
  （もちろん、全てのテーマでコメントせずとも大丈夫ですし、他の観点からのコメントや批判も歓迎します）

  1. この設問が完答できる生徒のレベル感は？（ヒント有、無それぞれ）
  2. ヒントありとして、授業に用いるとしたらどうか？
  3. ヒント無しで大学入試で出題されるとしたらどうか？

問題文

$$
\cos n\thetaは\cos\thetaのみで表せるか
$$

解答形式

表せないときは反例を
表せるときは記述で答えなさい

$$\int_{-\pi}^\pi\sin{x}dx$$

問題文

素因数分解したときの素因数の合計が22になるものを「キウイナンバー」とします。(例えば2025は素因数分解すると3×3×3×3×5×5になり、これを合計すると22になるので2025はキウイナンバーです。)
最大のキウイナンバーを求めてください。

解答形式

答えの数字をそのまま入力すればOKです。

$$\int dx$$

問題文

$7216$ のように，

• $11$ の倍数である．
• 上 $1$ 桁を無視してできる数は立方数である．（すなわち，ある整数 $m$ を用いて $m^3$ と表せる）

の $2$ 条件を満たす $4$ 桁の正整数を 祭数 といいます．最大の祭数を解答してください．ただし，上 $2$ 桁目等が $0$ である場合の上 $1$ 桁を無視してできる数とは上 $1$ 桁の数とそれに続く $0$ を無視した数とします．例えば $1011$ の上 $1$ 桁を無視してできる数は $11$ です．

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

『猫又おかゆ』の目の前に左右 $1$ 列に $9$ 個のおにぎりが並んでいます．おにぎりの種類は鮭，うめ，おかかの $3$ 種類のうちいずれかです．並んでいるおにぎりについて，『猫又おかゆ』は次のことに気づきました．

• すべての種類のおにぎりがある．
• ある種類のおにぎりは $1$ 個しかない．
• おにぎりの種類が左右対称に並んでいる．

『猫又おかゆ』の目の前にあるおにぎりの種類の並びとして考えられるものは何通りありますか．

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

鋭角三角形$ABC$があり$∠A$内の傍心を$P$とすると$∠APB＝23°$であったので，
$∠BAC$の大きさを度数法で表したときにあり得る最小の整数値を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

https://pororocca.com/problem/19/
こちらの問題の設定で，「裏裏裏裏裏表表表表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題

(1) 定積分

$$
\int_0^1 \frac{x\log x}{(x+1)^2}dx
$$

の値を求めよ。

(2) 関数列 ${f_n(x)}$ を

$$
f_{n+1}(x)=(x^x)^{f_n(x)},\quad f_1(x)=x^x
$$

で定める。定積分

$$
\int_0^1(x^x)^{{(x^x)}^{(x^x)\cdots}}dx:=\int_0^1\lim_{n\to \infty} f_n(x)\ dx
$$

の値を求めよ。ただしテトレーション $x^{{x^{x\cdots}}}$ は底 $x$ が $e^{-e}<x<e^{1/e}$ のとき収束することは証明せずに用いて良い。

備考

この問題の正解判定は出題者により手動で行われるため、判定までに時間がかかることがある。

問題文

$a,b,c$ を実数とする。次の連立方程式を解け。

$$
a^2-4b-1=0\\
b^2-8c+28=0\\
c^2-6a+2=0\\
$$

解答形式

a,b,cを半角数字として(a,b,c)で解答してください。無理数などを使いたい場合はTeXコマンドを使用してください。