2023文化祭1

問題文

$p^{2}q^{3}+r^{2}=s^{4}$ を満たす素数の組 $(p,q,r,s)$ は $n$ 組あり，それぞれの組について $S=p+q+r+s$ を求めると，$S$ の総積は $N$ である．
$n$ および $N$ の値を求めよ．

解答形式

一行目に $n$ の値を，二行目に $N$ の値を，それぞれ半角数字で解答してください．

問題文

$\angle{A} = 60^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ の内心を $I$，外心を $O$ とする．直線 $IO$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とし，直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点を $E(\not = A)$ とすると，以下が成立した:

$$EI = 23 , IO = 18$$

このとき，線分 $AI$ の長さは，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a + b$ を解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ の外心を $O$，垂心を $H$，外接円を $\Gamma$ とする．そして，以下のように点を4つとる．

• 直線 $BH$ と $\Gamma$ との交点を $P(\not=B)$ とする．
• 直線 $PO$ と $\Gamma$ との交点を $Q(\not=P)$ とする．
• 直線 $QH$ と $\Gamma$ との交点を $R(\not=Q)$ とする．
• 直線 $RO$ と $\Gamma$ との交点を $S(\not=R)$ とする．

このとき，3点 $ C,H,S$ が同一直線上にあった．

$$AH=17 , AO=11$$

のとき，三角形 $ABC$ の面積を求めてください．

解答形式

答えを2乗した値は，互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を求めてください．

問題文

AB=ACなる二等辺三角形ABCにおいて、点Aから下ろした垂線の足をD、三角形ABCの外心.垂心をそれぞれO.Hとする。
AH:HD=119:25、OH=138、BC=480のとき、
ABの長さを求めよ。

解答形式

半角で回答して下さい。

問題文

正方形$ABCD$の外接円の劣弧$BC$上に点$E$がある。$AE+DE=10$ が成り立っているとき、$BE+CE$の値を求めよ。

解答形式

答は非負整数$a,b$を用いて$-a+\sqrt{b}$と表されるので、$a+b$の値を半角数字で解答してください。

問題文

三角形 $ABC$ について，辺 $BC,CA,AB$ の中点をそれぞれ $D,E,F$ とし，三角形 $ABC, DEF$ の垂心をそれぞれ $H_1, H_2$ とすると，以下が成立しました．$$H_1H_2=3\sqrt{3},\quad DH_2=1,\quad \angle{H_1H_2D}=150^{\circ}$$このとき，三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗の値を求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$AB=5, AC=7$の三角形$ABC$があり重心を$G$，内心を$I$とすると$BC //GI $であった. このとき三角形$ABC$の面積の$2$乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，$C$ を通り $B$ で直線 $AB$ に接する円 $\gamma$ と線分 $AC$ の $C$ でない交点を $D$，$D$ を通り $A$ で直線 $AB$ に接する円 $\omega$ と $\gamma$ の $D$ でない交点を $E$ とします．いま，三角形 $ABC$ の外心を $O$ とすると，$$OD=OE,　DE=2,　BC=11$$ が成り立ちました．線分 $AC$ の長さの二乗を求めてください．

問題文

図の条件の下で、$x$ で示した角の大きさを求めてください。
ただし、外側の三角形は鋭角三角形であるとします。

解答形式

$x=a$ 度です $(0<a<30)$ 。$a$ の値を半角数字で解答してください。

問題文

4a²+b²+c²=d²を満たす素数の組について、
abcdの総和を求めよ。

解答形式

半角で答えて下さい。

問題文

$3$ つの自然数を積が $1000000$ となるように選ぶ方法は何通りありますか.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

追記：
回答いただいた内容的に, $3$ つの自然数を区別するかどうかがわかりにくかったと思われるので追記します.
この問題では $3$ つの自然数は区別しません. すなわち, $(1,10,100000)$ と $(10,1,100000)$ のように
並び替えただけの組は同一のものとみなします.

問題文

図の条件の下で，線分 $AB$ の長さを求めてください．
※orthocenter：垂心，circumcenter：外心

解答形式

$AB^2$ の値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．