初めての幾何作問

問題文

$1998^{2024}$の下$2$桁を求めよ。

解答形式

1行目に半角整数で入力してください。

${}$　西暦2025年問題第5弾です。今回は覆面算風味の整数問題です。けれども、独特な解き心地があります。単一解であるのを前提にして構いませんので、じっくりと味わってください。

解答形式

${}$　解答は指定の積をそのまま入力してください。
（例）105 → $\color{blue}{105}$

問題文

$p,q$を素数、$n$を整数とします。
$$
p^{4}+2q^{2}-2^{n}=635
$$
を満たす$p,q,n$の組$(p,q,n)$を全て求めてください。

解答形式

$p+q+n$の値の総和を半角で解答してください。

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について，垂心を $H$，外心を $O$，直線 $CH$ と直線 $AB$ の交点を $F$，直線 $BC, AC$ について $F$ と対称な点をそれぞれ $X, Y$ とし，直線 $BX$ と直線 $AY$ の交点を $P$ とします．$\angle FOX=\angle AFP$ かつ $FH=1, HC=7$ が成り立つとき，円 $ABC$ の半径としてありうる値の二乗の総和は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

問題文

AB=ACなる二等辺三角形ABCにおいて、点Aから下ろした垂線の足をD、三角形ABCの外心.垂心をそれぞれO.Hとする。
AH:HD=119:25、OH=138、BC=480のとき、
ABの長さを求めよ。

解答形式

半角で回答して下さい。

問題文

三角形 $ABC$ の外心を $O$，垂心を $H$，外接円を $\Gamma$ とする．そして，以下のように点を4つとる．

• 直線 $BH$ と $\Gamma$ との交点を $P(\not=B)$ とする．
• 直線 $PO$ と $\Gamma$ との交点を $Q(\not=P)$ とする．
• 直線 $QH$ と $\Gamma$ との交点を $R(\not=Q)$ とする．
• 直線 $RO$ と $\Gamma$ との交点を $S(\not=R)$ とする．

このとき，3点 $ C,H,S$ が同一直線上にあった．

$$AH=17 , AO=11$$

のとき，三角形 $ABC$ の面積を求めてください．

解答形式

答えを2乗した値は，互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を求めてください．

問題文

$AB=5,AC=9$ なる三角形 $ABC$ があり，その外接円を $\Gamma$ とします．辺 $BC$ の中点を $D$ とすると，$B$ における $\Gamma$ の接線と半直線 $DA$ が点 $E$ で交わりました．また，辺 $AC$ 上の点 $F$ が $\angle CDF=\angle BEA$ をみたしています．$DF=\dfrac{10}{3}$ のとき，線分 $AE$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

$f(x)$ は $x$ が $3$ で割り切れる回数を示します．
このとき，$$f(\prod_{k=2}^{2024} \lfloor \log_2 k\rfloor )$$ を求めて下さい．

解答形式

一意の整数値に定まるので、それを半角で解答してください．

問題文

以下の値を素数 $2017$ で割った余りを解答してください。ただし、$\lfloor x\rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数を表します。

$\displaystyle\sum_{k=1}^{2023} \left\lfloor\dfrac{3}{7}×2^k\right\rfloor(-1)^{k+1}$

解答形式

非負整数を半角で入力してください．

$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=13053769$を満たす自然数$(a,b,c,d,e)$の組を1つ求めよ。ただし、$a<b<c<d<e$とする。

解答形式

a,b,c,d,e,fの順で、間を半角スペースで区切り解答してください。
(例)$(a,b,c,d,e)=(1,2,3,4,5)$だった場合
→1 2 3 4 5

問題文

$p^2-pq-q^2+p+q=0$ を満たす素数の組 $(p,q)$ すべてについて，$p+q$ の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題

Weskdohn君は，次のゲームを行うことになりました.

正$733$角形のマークが書かれたカードW：$W_1W_2 \ldots W_{733}$から一枚選ぶ操作をOPE1と言い，これを$X$回繰り返します．
但し$X$について次の事実がわかっています．

正$3$角形のマークが書かれたカードS：$S_1S_2 S_3$と正$281$角形のマークが書かれたカードN：$N_1N_2 \ldots N_{281}$
について，それぞれ一枚ずつ取り出す操作をOPE2といい，OPE2を973回繰り返した場合の数を$X$通りとする．

ゲームで選んだカードWの組み合わせは$Y$通りと書けるので，$Y_{[9]}$の下三桁$n$を求めて下さい．

但し，異なる番号が振られた同じ種類のカード(例えば$E_d$と$E_h$)は互いに区別できるとし，また$O_{[K]}$は，$O$を$K$進法で書いた時の値とします．

解答形式

求めた値を,半角で入力して下さい．
ex)答えが6106→6106と入力．
また,001のような数値が答えの場合は、0をなくさず001のまま回答して下さい.