Ratio K/D (2019-理①-6)

問題文

正の実数 $a,b,c,d$ が $\Bigg\{\begin{aligned}
a+\dfrac{b}{4}+\dfrac{c}{9}+\dfrac{d}{16}=25 \\
\dfrac{49}{a}+\dfrac{64}{b}+\dfrac{81}{c}+\dfrac{100}{d}=36
\end{aligned}$ の $2$ 式を満たすとき，$d$ の最小値は最大公約数が $1$ の正の整数 $p,q,r$ を用いて $\dfrac{p-\sqrt{q}}{r}$ と表されるので，$p+q+r$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題

$(1)$　$4$ つの実数 $(10\pm\sqrt 2\pm 4\sqrt 3)^3+1$ の和と等しい整数の最大素因数を求めよ．
$(2)$　方程式 $(2x^2-x)(2x^2-7x+6)=7$ の実数解 $x$ に対する $x^5-\dfrac{1}{x^5}$ の値を求めよ．

解答形式

$(1),(2)$ の和を半角数字で入力してください．

設問8

正の数からなる数列 ${a_n}$ が $a_1 > 0$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n^2}$ ($n \ge 1$) を満たすとき、極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\sqrt[3]{3n}}$ を求めよ。

解答形式

${}$　西暦2026年問題第9弾です。24時を回って、日付が変わってしまいました。僕の西暦問題では珍しく代数・解析分野からの出題となっています。さらにいうと、前回の問題と同じく$2026$を$2+2\sqrt{6}$と解釈する強引さを見せています。そんな珍しさと強引さを味わいながらお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は求める解の個数をそのまま半角で入力してください。
（例）109個 → $\color{blue}{109}$
　なお、解が存在しない（不能）場合は$\color{blue}{0}$と、解が無数に存在する（不定）場合は$\color{blue}{\mathrm{inf}}$と入力してください。

問題文

$4$ 点 $\mathrm{A,B,C,D}$ が $\mathrm{AB=BC=CD}=1,\mathrm{DA}=2$ を満たし、さらに線分 $\mathrm{BC}$ と線分 $\mathrm{DA}$ が点 $\mathrm{P}$ で交わっている。線分 $\mathrm{AP}$ の長さが最大となるとき、

$$
\mathrm{AC}=\frac{\sqrt{\fbox{アイ}-\sqrt{\fbox{ウエオ}\ }+\sqrt{\fbox{カキクケ}+\fbox{コサ} \sqrt{\fbox{シスセ}\ }\ }\ }}{\fbox{ソ}}
$$

である。ただし、$\mathrm{XY}$ で線分 $\mathrm{XY}$ の長さを表すものとする。

ヒント

必要であれば以下の事実を用いてよい。

・実数 $a,b,c$（ただし $a\neq-64$ ）について、$\displaystyle p=\frac{b+c-a^2}{a+64},q=64p+a^2-b$ とおくと、$x$ についての恒等式

$$
1024x^4+64ax^3+bx^2+2cx+p^2-q=(32x^2+ax+p)^2-q(x-1)^2
$$

が成り立つ（これは、右辺を展開して係数比較することで簡単に確かめられる）。

解答形式

ア〜ソには、0から9までの数字または「-」(マイナス)が入る。
文字列「アイウエオカキクケコサシスセソ」を半角で1行目に入力せよ。
ただし、分数はそれ以上約分できない形で、かつ根号の中身が最小になるように答えよ。

問題

$p$を$3$より大きい素数とする
$S=\sum_{k=1}^{p-2} k \cdot (k!) \cdot ((p-k-1)!)$　
を$p$で割った余りを求めよ。

解答形式

解答は既約分数で表せるので、
1行目に分子、
2行目に分母
を半角で書いてください
分母は1になる場合も書いてください

問題文

nを一桁の自然数とする。xについての多項式、

∫(0→x) (t^3 + {1/√(n-2)(n-3)(n-4)} t^-2 +1)^n dt

について、x^6の係数を自然数にするようなnを求めなさい。

解答形式

半角で一桁の数字を入力してください。

問題

$(1)$　集合 $S_n=\{nx\mid x^3\leqq 2x^2+5x-6\}$ に対し，整数 $k\notin\overline{S_1\cap S_2}\cup S_3$ は何個あるか．
$(2)$　$3$ 桁の素数は $200$ 個未満か．

解答形式

命題は真なら $1$，偽なら $0$ として，$(1),(2)$ の和を半角数字で入力してください．

問題文

半径21の扇形に図のように線を引きました。青い三角形の面積が213のとき、赤い線分の長さを求めてください。

※高校数学カテゴリに入れてますが、中学数学範囲での綺麗な解法をTwitterにて頂きました。是非考えてみてください。

解答形式

解答は既約分数$\frac{\fbox{アイウ}}{\fbox{エ}}$となります。文字列「アイウエ」を解答してください。
ただし、$\fbox ア ～ \fbox エ$には$0$以上$9$以下の整数が入ります。

問題文

$2023$ や $1231$ のように $2$ と $3$ がこの順に連続して表れる $4$ 桁の正の整数(すなわち，$1000$ 以上 $9999$ 以下の整数)の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題

$(1)$　$1-\dfrac{2}{x}=\sqrt{2-\sqrt 3}$ のとき，$x^3=\dfrac{ax+b}{|x^2-20|}$ となる有理数 $a,b$ を求めよ．
$(2)$　$60|p-q\sqrt 3|\lt 1\leqq p-4\leqq 100$ を満たす整数 $p,q$ は存在するか．

解答形式

命題が真なら $|a+1|$，偽なら $|b+1|$ の値を半角数字で入力してください．

問題文

$AB=20,CD=23,AD=12,BC=31$ を満たす四角形 $ABCD$ について，三角形 $ABD$ の内心を $I_1$ とし，三角形 $BCD$ の内心を $I_2$ とします．
$I_1I_2$ と $BD$ の交点を $X$ とすると $DX=\dfrac{12}{31}$ となったとき，$BX$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．