300N

問題文

以下の値を素数 $2017$ で割った余りを解答してください。ただし、$\lfloor x\rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数を表します。

$\displaystyle\sum_{k=1}^{2023} \left\lfloor\dfrac{3}{7}×2^k\right\rfloor(-1)^{k+1}$

解答形式

非負整数を半角で入力してください．

問題文

$AB<AC$ で，線分 $AB,AC$ の長さが正整数値である三角形 $ABC$ について，半直線 $CB$ 上で線分 $BC$ 上でないところに点 $D$ ，半直線 $BC$ 上で線分 $BC$ 上でないところに点 $E$ をそれぞれ置く．また，三角形 $ADE$ の外接円と直線 $AB,AC$ との交点のうち，$A$ でないほうをそれぞれ $P,Q$ とする．$4$ 点 $B,P,Q,C$ が同一円周上にあり，$DB=9,BC=45,CE=5$ のとき，線分 $PQ$ の長さとしてあり得る値の総和は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。

$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=13053769$を満たす自然数$(a,b,c,d,e)$の組を1つ求めよ。ただし、$a<b<c<d<e$とする。

解答形式

a,b,c,d,e,fの順で、間を半角スペースで区切り解答してください。
(例)$(a,b,c,d,e)=(1,2,3,4,5)$だった場合
→1 2 3 4 5

問題文

以下によって定義される整数 $N$ を素数 $13907$ で割った余りを求めてください．$$N=\prod_{k=1}^{13906} (k^2+2025)$$

解答形式

13906以下の非負整数で解答してください

問題文

円$O_1,O_2,O_3$は点$O$を中心とする同心円で、この順に半径が小さい。円$O_1,O_2,O_3$の周上に、それぞれ点$A,B,C$をとるとき、$△ABC$の内部または周上に点$O$が含まれる確率を求めよ。

解答形式

0または1の場合はそのまま答え、互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{b}{a}$と表せる場合は$ab$を解答してください。

${}$　西暦2025年問題第5弾です。今回は覆面算風味の整数問題です。けれども、独特な解き心地があります。単一解であるのを前提にして構いませんので、じっくりと味わってください。

解答形式

${}$　解答は指定の積をそのまま入力してください。
（例）105 → $\color{blue}{105}$

問題文

三角形$ABC$において，$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし，$AD,BC$の中点をそれぞれ$M,N$とする.$A N$と$EF$の交点を$P$とし，$DP$と$MN$の交点を$Q$，三角形$ABC$の外接円と$AQ$が再び交わる点を$R$としたとき，$$AN＝10　AB＝9　NR＝3$$が成立した.このとき，$AC²$の値を解答してください.

解答形式

半角で解答してください.

問題文

10の倍数でない正の整数 $n$ に対し, $f(n)$は, 十進法表示で $n$ を $1$ の位から逆の順番で読んで得られる正の整数として定めます. たとえば$f(123456789) = 987654321$です. $n+f(n)$が81の倍数となるような十進法で10桁の$n$の個数を解答してください．

備考

本問は大学への数学2024年12月学コン3番に掲載されている自作問題です.

問題文

$p,q$を素数、$n$を整数とします。
$$
p^{4}+2q^{2}-2^{n}=635
$$
を満たす$p,q,n$の組$(p,q,n)$を全て求めてください。

解答形式

$p+q+n$の値の総和を半角で解答してください。

問題文

$\angle{A}=60^\circ,AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，その外心を $O$ ，垂心を $H$ とします．直線 $OH$ と直線 $AB$ との交点を $P$ としたとき，以下が成立しました．$$AP=8,AH=7$$このとき，三角形 $ABC$ の面積は互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$[\sqrt[11111]{2024!}]$を求めよ。ただし、$\log_{10}2=0.3010$、$\log_{10}3=0.4771$とする。

解答形式

数字のみを記入してください。

問題文

$\angle B$ が鋭角である三角形 $ABC$ がある．いま，$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とし，$D$ から辺 $AB$ に下ろした垂線の足を $H$ とする．$AH = 1944, HB = 2, AC = 2023$ がそれぞれ成り立つとき，辺 $BC$ の長さを求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください．