幾何

katsuo_temple 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年5月5日1:26 正解数: 2 / 解答数: 8 (正答率: 25%) ギブアップ不可

問題文

九点円中心を$N$とする鋭角三角形$ABC$において,$BN$と$AC$の交点を$P$,$CN$と$AB$の交点を$Q$とする.直線$AC$に関して$B$と対称な点を$B'$,直線$AB$に関して$C$と対称な点を$C’$とし,$B'Q$と$C'P$の交点を$X$とするとき,以下が成立しました.$$\angle BAX=\angle NAX \tan\angle ACB=\frac{5}{6} AB=10$$このとき,三角形$ABC$の面積を求めて下さい.

解答形式

半角で解答して下さい.


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$$
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$$

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$AB=AC$ なる三角形 $ABC$ について,線分 $AB$ 上に点 $D$ をとり,点 $A$ から円 $DBC$ に引いた接線と円 $DBC$ の接点のうち,直線 $DC$ について点 $B$ 側にあるものを $T$ とします.円 $ATC$ と線分 $AB, BC$ の交点をそれぞれ $E(\neq A), P(\neq C)$ とし,直線 $DT$ と直線 $BC$ の交点を $Q$ とすると,直線 $AB$ は $\angle PAQ$ を二等分しました.$AD=7, DC=13$ のとき,線分 $AC$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を求めてください.

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問題文

$\angle{A} = 60^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ の内心を $I$,外心を $O$ とする.直線 $IO$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とし,直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点を $E(\not = A)$ とすると,以下が成立した:

$$EI = 23 , IO = 18$$

このとき,線分 $AI$ の長さは,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので,$a + b$ を解答してください.

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三角形 $ABC$ があり内部に点 $D$ をとり,直線 $AD$ と $BC$ の交点を $E$ とすると $\angle ABD=\angle BCD,AD=DE=3,BE=2,CE=9$ であった.このとき $AC$ の長さの $2$ 乗を解答せよ.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

再掲No.2

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度:
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問題文

三角形 $ABC$ の線分 $BC$ の中点を $M$ とし,線分 $AB$ 上に点 $P$ をおくと $AP=2,AM=5,CP=4, \angle ACP= \angle BPM$ であったので,線分 $BC$ の長さの $2$ 乗を解答せよ.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

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【補助線主体の図形問題 #115】
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解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

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ある三角形の内心を中心とする半径 $2024$ の円が,その三角形の頂点のうちの一つと,その三角形の外心,垂心を通りました.この三角形の外接円の半径としてあり得る値の総和の整数部分を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

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こちらも問題に不備があったため、数値設定を変更いたしました。不備が重なってしまいたいへん申し訳ありません。

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解答形式

答えは最大公約数が $1$ である正整数 $a,b, c$ によって $\cfrac{\sqrt{b}-c}{a}$ と表されるため, $a+b+c$ の値を半角数字で解答してください.


${}$ 西暦2024年問題第6弾です。いよいよ整数問題のお出ましとなりました。ある程度は手を動かす必要がありますが、あることに気づけば調べる候補をぐっと減らすことができます。約数の個数を求めるのが面倒な方はWolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com なども併用して構いません。

解答形式

${}$ 解答は求める$n$の最小値をそのまま入力してください。
(例)$n=2106$ → $\color{blue}{2106}$

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 ただし,素数表:https://onlinemathcontest.com/primes は用いても構いません.

解答形式

非負整数で回答してください.