1から2pの2p個の異なる自然数を全て並べる時に隣り合う二つの積が常に偶数になる通りをSpとするとき、それがpで最大何回割れるか答えろ. (ただしpは素数とする)
(半角の自然数が答え)
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与式を因数分解せよ。x^6 - 41x^5 + 652x^4 - 5102x^3 + 20581x^2 - 40361x + 30030
因数分解された式のみ回答
$p=3, \quad q=5, \quad r=7$
$X = p^q + q^p$ $Y = q^r + r^q$ $Z = r^p + p^r$
$N = X^p + Y^q + Z^r$
このとき、$N$を$105$で割った余りを求めよ。
半角左詰め
整数 $x$ と素数 $p$ が、以下の連立合同式を満たす。
$x \equiv p \pmod{9797}$ $x \equiv 11p + 69 \pmod{9991}$
この条件を満たす最小の素数 $p$ を求めよ。
以下の等式を満たす $0$ 以上の整数 $x$ をすべて求めよ。解答する際は、解答形式を参照すること。
$$ \left\lfloor \sqrt{x} \, \right\rfloor + \left\lceil \sqrt{x} \, \right\rceil = x $$
ただし、実数 $x$ に対して $\lfloor x \rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数、$\lceil x \rceil$ は $x$ 以上の最小の整数をいう。
答えを小さい順に並び替え、半角数字で一つずつ改行で区切って答えてください。 末尾に改行はあってもなくても構いませんが、各行にスペース等は入れないでください。
例)答えが $-1,8,9,10$ のとき
-1 8 9 10
と解答してください。
$P(x)$ は整数係数の monic な (最高次の係数が1の) 3次多項式 であるとする。方程式 $P(x) = 0$ は、相異なる3つの整数解を持 つことが分かっている。 $P(0)=6$ $P(1)=4$ のとき、$P(4)$の値を求めよ。
半角でスペースなし
$n$を整数とする。$n^{8}-n^{2}$を割り切る最大の自然数を求めよ。
半角数字で入力してください。
$\sqrt[abc]{a! + b! + c!}$が整数となるような正の整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ.
すべての組に対する $a+b+c$ の値の総和を解答してください。論証は解説を参照してください。
$P(x)$ は整数係数の3次多項式である。 すべての整数$ n $に対して、$P(n)+1$ は常に立方数となるとする $P(0)=7$ および $P(1)=26$ が成立している。 このとき、$P(2)-P(-1)$ の値を求めよ。
半角スペースなし
$n ≧2$を整数、$p $を素数とする。正の整数 $x$ についての方程式 $x^n - (x-p)^n = p^n$ を考える。 $p$ が奇素数であり、$p$が $x$ を割り切らないとき、この方程式は解を持たないことを示せ。
何の定理を使用したかを明確にされた上で、数式を出来るだけ省いてもらった形の簡単な証明で構いません
$AB<AC$ で,線分 $AB,AC$ の長さが正整数値である三角形 $ABC$ について,半直線 $CB$ 上で線分 $BC$ 上でないところに点 $D$ ,半直線 $BC$ 上で線分 $BC$ 上でないところに点 $E$ をそれぞれ置く.また,三角形 $ADE$ の外接円と直線 $AB,AC$ との交点のうち,$A$ でないほうをそれぞれ $P,Q$ とする.$4$ 点 $B,P,Q,C$ が同一円周上にあり,$DB=9,BC=45,CE=5$ のとき,線分 $PQ$ の長さとしてあり得る値の総和は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答してください.
正の実数からなる $2$ つの数列 $a_1,a_2,...$ と $b_1,b_2,...$ があり, 任意の整数 $n$ について以下を満たしている. $$ (a_{n+1},b_{n+1})=\left(\frac{a_n}{2},b_n+\frac{a_n}{2}\right)または(a_{n+1},b_{n+1})=\left(a_n+\frac{b_n}{2},\frac{b_n}{2}\right)が成立する. $$ $(a_1,b_1)$ が $(7,11)$ であるとき, $a_{100}$ としてあり得る値の中で $2025$ 番目に小さいものを求めよ.
答えの値を $x$ としたとき, $2^{100}x$ の値を解答してください. 参考:$2^{100}=1267650600228229401496703205376$
3辺の長さがそれぞれ自然数の三角形であり、3辺の長さの合計が1200になるという。このような条件を満たす三角形の個数を求めよ。