組み合わせ

問題文

整数 $x$ と素数 $p$ が、以下の連立合同式を満たす。

$x \equiv p \pmod{9797}$
$x \equiv 11p + 69 \pmod{9991}$

この条件を満たす最小の素数 $p$ を求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

$p=3, \quad q=5, \quad r=7$

$X = p^q + q^p$
$Y = q^r + r^q$
$Z = r^p + p^r$

$N = X^p + Y^q + Z^r$

このとき、$N$を$105$で割った余りを求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

太郎君は遅刻魔で、よく遅刻をする。
それを見かねた先生は、
・3日連続で遅刻したら特別指導
・10日間の間に6回以上遅刻をしたら特別指導
というルールを設けた。このとき、10日間で太郎君が特別指導を受けないよう登校する方法は合計何通りあるか。

解答形式

例）半角数字で入力してください。

問題文

与式を因数分解せよ。x^6 - 41x^5 + 652x^4 - 5102x^3 + 20581x^2 - 40361x + 30030

回答の仕方

因数分解された式のみ回答

問題文

$\angle{ADC}=\angle{BCD}=90^\circ,BAD>90^\circ$なる台形$ABCD$について,
$$\angle{BAC}=90^\circ,AB=4,AC=3$$
が成立した.$ABCD$の面積を求めよ.

解答形式

求める値は互いに素な正整数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表せるので,$p+q$を解答してください.

問題文

₁₃₅C₃₀を7で割った余りを求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題

$P(x)$ は整数係数の monic な (最高次の係数が1の) 3次多項式 であるとする。方程式 $P(x) = 0$ は、相異なる3つの整数解を持 つことが分かっている。
$P(0)＝6$
$P(1)＝4$
のとき、$P(4)$の値を求めよ。

解答形式

半角でスペースなし

問題文

$n$を整数とする。$n^{8}-n^{2}$を割り切る最大の自然数を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

以下の等式を満たす $0$ 以上の整数 $x$ をすべて求めよ。解答する際は、解答形式を参照すること。

$$
\left\lfloor \sqrt{x} \, \right\rfloor + \left\lceil \sqrt{x} \, \right\rceil = x
$$

ただし、実数 $x$ に対して $\lfloor x \rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数、$\lceil x \rceil$ は $x$ 以上の最小の整数をいう。

解答形式

答えを小さい順に並び替え、半角数字で一つずつ改行で区切って答えてください。
末尾に改行はあってもなくても構いませんが、各行にスペース等は入れないでください。

例）答えが $-1,8,9,10$ のとき

-1
8
9
10

と解答してください。

問題文

$AB=BC$で、面積が$2025$であるような二等辺三角形$ABC$がある。$AB(=BC)$の最小値を求めよ。

解答形式

半角数字で$AB^2(=BC^2)$の値を入力してください。

問題文

モニターに0が表示されている。ここには3つのボタンがあり、
・ボタン$A$を押すとモニターの数字が1増える。
・ボタン$B$を押すとモニターの数字が2増える。
・ボタン$C$を押すとモニターの数字が3増える。
ボタン$A～C$をそれぞれ任意の回数押したとき、
最後に表示される数字が300以下の非負の3の倍数となるようなボタンの押し方の総数を求めよ。ただし、ボタンを押す順番は区別しない。

解答形式

例）半角数字で入力してください。

問題文

以下の連立方程式を満たすような実数の組$(a,b,c,d)$の個数を求めよ。
$$
\begin{cases} ab^2c^3d^4=1 \\ a^4bc^2d^3=1\\a^3b^4cd^2=1\\a^2b^3c^4d=1\end{cases}
$$

解答形式

半角数字で個数を入力してください。