第3問

問題文

$x>0$において、次の関数を定義する。
$g(x) = √(x² + cos²x + sin⁴x + 2(xcosx + xsin²x + cosxsin²x))$
このとき、以下の極限値を求めよ。
$lim_{x→0^+} \frac{g(x) - (x + \cos x)}{x^2}$

解答形式

半角

方程式 $x^2+xy+y^3=7$ の表す図形を $y$ 方向に $\fbox{ (1) }$ 平行移動してから $\fbox{ (2) }$ に関して対称移動し，$x$ 方向に $\fbox{ (3) }$ 平行移動し，$\fbox{ (4) }$ に関して対称移動すると，方程式 $x^3-3x^2+xy-y^2+5y=0$ の表す図形となる．

以上の空欄 $(1)\sim(4)$ を適切に補充せよ．ただし，$(1),(3)$ には数値を答え，$(2),(4)$ には以下の語群から言葉を選び答えよ．

【語群】
$\mathrm A.\,x$ 軸
$\mathrm B.\,y$ 軸
$\mathrm C.$ 直線 $y=x$

答えは，空欄 $(1),(2),(3),(4)$ に当てはまる数または記号をそれぞれ $1,2,3,4$ 行目に記して答えよ．
ここで，整数でない有理数は既約分数(分母は自然数，分子は整数で，互いに素)で表し，$\displaystyle\frac{-5}{13}$ なら
-5/13
と記すこと．

【解答例】
3
A
-5/13
B

$a,b,c\ (a\neq0)$ を実数とする．放物線 $y=ax^2+bx+c$ が，$3$ 直線
$\ y=x-2,\ y=-3x+2,\ y=7x-3$
の全てと接するとき，$a,b,c$ の値を求めよ．

答えは，$a,b,c$ の値をそれぞれ $1,2,3$ 行目に記入せよ．ただし，整数でない有理数は既約分数(分母は自然数，分子は整数で，互いに素)で表し，$\displaystyle\frac{-5}{13}$ なら
-5/13
のように記入して答えよ．

【解答例】
1
-2
-1/3

サイコロを $3$ 回振って出た目を $a, b, c$ とする．このとき，$xy$ 平面上の $3$ 直線
$ax+2by+3c=0,\ 3bx+cy+2a=0,\ 2cx+3ay+b=0$
によって囲まれる三角形が存在する確率を求めよ．
答えは互いに素な自然数 $\eta,\zeta$ を用いて $\displaystyle\frac \eta\zeta$ と表されるので，$1$ 行目に $\eta$ を，$2$ 行目に $\zeta$ を答えよ．

問題文

2つの実数 $\alpha$ と $\beta$ を次のように定義する。

• $\alpha = \sqrt{17 - 12\sqrt{2}}$
• $\beta = \sqrt{17 + 12\sqrt{2}}$

この $\alpha, \beta$ を用いて、自然数 $n$ に対する数列 ${T_n}$ を以下で定める。

$$T_n = \alpha^{2^n} + \beta^{2^n}$$

このとき、$T_3$ の値は、ある正の整数 $A$ を用いて、

$$T_3= A + \sqrt{A^2-1}$$

と一意に表現することができる。

この整数 $A$ の値を求めよ。

解答形式

半角

AクラスとBクラスの生徒の合計は24人である．鉛筆とボールペンについて在庫が何本かあり，それらを生徒に配りたい．Aクラスの生徒に鉛筆を7本ずつ配ろうとすると最後の1人で足りなくなり，Bクラスの生徒にボールペンを6本ずつ配ろうとすると最後の1人で足りなくなる．そこで，逆にAクラスの生徒にボールペンを，Bクラスの生徒に鉛筆を配ると，クラス毎に同じ本数だけ，在庫をちょうど配りきることができた．(1人あたりに配った本数は，AクラスとBクラスでは同じとは限らない．)
Aクラスの生徒の人数としてありえる数を全て求めよ．

答えは，小さい順に空白を入れずカンマで区切って記入せよ．例えば，1と2と3があり得るなら
1,2,3
と答えよ．

面積 $1$ の平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ に対し，辺 $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CD},\mathrm{DA}$ の中点をそれぞれ $\mathrm K,\mathrm L,\mathrm M,\mathrm N$ とする．$8$ 直線 $\mathrm{AL},\mathrm{AM},\mathrm{BM},\mathrm{BN},\mathrm{CN},\mathrm{CK},\mathrm{DK},\mathrm{DL}$ によって囲まれてできる $8$ 角形の面積を求めよ．

ただし，整数でない有理数は既約分数(分母は自然数，分子は整数で，互いに素)で表し，$\displaystyle\frac{5}{13}$ なら
5/13
のように記入して答えよ．

${}$　西暦2025年問題第2弾です。第1弾に引き続き虫食算で、今回は掛け算にしてみました。数学的手法（約数や倍数、偶奇性や剰余、不等式による絞り込み、などなど）を適宜用いることで面倒な場合分けや仮置きを軽減できるよう仕込んでいるのは変わりません。パズル的に解くのもよし、数学的にゴリゴリ解くのもよし、どうぞお好きなようにお楽しみください！

解答形式

${}$　解答は上2行を「被乗数×乗数」の形で入力してください。
（例） $2025 \times 102 = 206550$ → $\color{blue}{2025 \text{×} 102}$
　入力を一意に定めるための処置です。数字は半角で、「×」の演算記号はTeX記法（\times）でも、絵文字や環境依存文字でもなく、全角記号の「×」でお願いします。空白（スペース）も入れる必要はありません。

問題文

$n$を非負整数とする。
$√(n^2+7n-14)$が整数となるような$n$の値を全て求めよ。

解答形式

$n$の値を小さい順に一行区切りで入力してください。

${}$　2025年、あけましておめでとうございます。昨年は図形問題の投稿を長らくお休みしてしまいましたが、本年もよろしくお願いいたします。
　さて、新年数日は西暦である2025を織り込んだ数学やパズルの問題をお送りします。
　初日・2日目は虫食算です。虫食算というと確定マスから埋めていき、時には場合分けや仮置きを利用するのが定番の手法ですが、僕が作る虫食算は数学的手法（約数や倍数、偶奇性や剰余、不等式による絞り込み、などなど）を適宜用いることで面倒な場合分けや仮置きを軽減できるようにしています。とはいえ、解き方は自由です。お好きなようにパズルなひと時をお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は2行目を「被除数÷除数」の形で入力してください。
（例） $2025 \div 101 = 20$ 余り $5$ → $\color{blue}{2025 \text{÷} 101}$
　入力を一意に定めるための処置です。数字は半角で、「÷」の演算記号はTeX記法（\div）でも、絵文字や環境依存文字でもなく、全角記号の「÷」でお願いします。空白（スペース）も入れる必要はありません。

問題文

$ $　原点を $O$ とする $xy$ 平面において，（正とは限らない）整数 $n$ に対し座標 $(60, n)$ の点を $P_n$ と表します．$n$ を整数全体で動かしたとき，線分 $OP_n$ の長さとしてあり得る整数値の総和を求めて下さい．

解答形式

半角英数にし，答えとなる正整数値を入力し解答して下さい．

OMCB030-C(https://onlinemathcontest.com/contests/omcb030/tasks/4587)
のもう一つの案です.

$2$ 以上の整数 $n$ に対し，$n$ が持つ相異なる素因数の総積を $\mathrm{rad}(n)$ で表します．例えば，$\mathrm{rad}(18)=2×3$ です．次の等式を満たす $2$ 以上の整数 $m$ の総和を求めてください．

$$m=\mathrm{rad}(m)+240$$