1と4

問題文

正整数 $n$ に対して $n^{10n}$ を $31$ で割ったあまりを $f(n)$ としたとき，
$$\sum_{k=1}^{12000} f(k)$$
の値を求めてください．

解答形式

半角英数字で回答してください．

問題文

$56076923$ の素因数の総和を求めてください.
ただし, 重複する素因数は異なるものとして考えます.

解答形式

例）非負整数を答えてください.

$自然数Xについて、Xの各位の数字を足し合わせた値をk(X)とおく。$
$4桁の自然数A,Bにおいて$$$
\begin{eqnarray}
\frac{k(A)}{k(B)}=\frac{A}{B}=n
\end{eqnarray}
$$$ (nは2以上の整数)$
$のとき、Aの取りうる値は何個あるか。$
半角数字のみで答えよ

問題文

$\alpha^5-1=0$ を満たす複素数 $\alpha$ に対して関数 $f$ を $f(x)=\alpha x+1$ で定義したとき，
$f^{100}(1)$ としてありうる値の総和をすべて求めてください. ただし，$f^{100}(x)$ は $f$ を $100$ 回合成した関数とします.

解答形式

例）非負整数を答えてください.

追記

ごめんなさい解答形式を書いてなかったです

問題文

$p=3, \quad q=5, \quad r=7$

$X = p^q + q^p$
$Y = q^r + r^q$
$Z = r^p + p^r$

$N = X^p + Y^q + Z^r$

このとき、$N$を$105$で割った余りを求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

$3^{2025}$を $11$ で割った余りを求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

$n$を整数とする。$n^{8}-n^{2}$を割り切る最大の自然数を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$11$ 個の実数 $A_0 , A_1 , \cdots , A_{10} $ が $n=0 , 1 , \cdots , 9$ に対して$$\sum_{k=0}^{10}{A_kk^n}=0$$を満たします. $A_0=1$ のとき, $\sum_{k=0}^{10}{A_kk^{10}}$ の値を求めてください.
ただし, $0^0=1$とします.

解答形式

非負整数を答えてください.

問題

半径 $1000$ の円の形をした平坦な地形の島がある。この島を訪れたトレジャーハンターのアリスは、この島のある $1$ 点 $\mathrm{T}$ の真下に宝が埋まっていることは知っているが、$\mathrm{T}$ の位置は知らない。アリスは、自分のいる地点と $\mathrm{T}$ との距離を正確に測る探知機を使って $\mathrm{T}$ にたどり着こうとしている。

はじめ、アリスは島の中心点 $\mathrm{A_0}$ にいる。この後、アリスはターン制で行動を繰り返す。$n=1,2,\ldots$ に対し、$n-1$ ターン目の行動が終わった後のアリスの位置を $\mathrm{A_{n-1}}$ とする。$n$ ターン目でアリスは以下の行動をとる:

$n$ ターン目の行動:
アリスは、今いる地点 $\mathrm{A_{n-1}}$ からちょうど距離 $1$ だけ離れた点 $\mathrm{A_{n}}$ に移動する。その後、探知機を使って線分 $\mathrm{TA}_n$ の長さ $d_n$ を正確に測る。

さて、あるターンで $d_n=0$ となった時、アリスは今いる地点の真下を掘り起こして宝を見つける。$\mathrm{T}$ の位置にかかわらず、アリスがうまく行動すれば $N$ ターン目で確実に宝を見つけることができるような正の整数 $N$ の最小値を求めよ。

解答形式

半角数字のみで1行目に入力せよ。

問題文

素数 $p$ を用いて表される整数 $p-4, p^2-6, p^3-26$ が全て素数となるような $p$ の総和を求めよ。

解答形式

算用数字で解答してください。

問題文

101^100の下位5桁(万の位まで)を求めよ。

解答形式

半角でお願いします。

問題文

$\lim\limits_{n\to\infty} n\sin\frac{2π}{n} = mπ$ である。
$m$の値を求めよ。

解答形式

$m$は2つの実数$a,b$を使って $\frac{a}{b}$と表せる。
$m$を分母が有理化された既約分数の形にした時の$a+b$を解答すること。