問題7

問題文

三角形 $OAB$ がある．点 $C$ を$\angle CAO=\angle BAO$, $AC\perp CO$ となるように辺 $AB$ に対し点 $O$ と同じ側に取る．
また，点 $B$ から直線 $CO$ に引いた垂線の足を $D$ とする．
$C$ を通り直線 $OB$ に垂直な直線と $D$ を通り直線 $OA$ に垂直な直線の交点を $G$ とするとき,
$CD=17,\, GO=8,\, GC=15$ である．
このとき $AB$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ と平方因子を持たない正整数 $c$ を用いて $\dfrac{b\sqrt{c}}{a}$ と書けるので，$a+b+c$ を求めよ.

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$AB \lt AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$，とする．直線 $BH, CH$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点をそれぞれ $E (\not = B) , F (\not = C)$ とし，辺 $AB , AC$ と 線分 $EF$ との交点をそれぞれ $P , Q$ とする．直線 $AC$ に関して $P$ と対称な点を $R$，直線 $AB$ に関して $Q$ と対称な点を $S$ とし，三角形 $RSH$ の外心を $O$ とすると，以下が成立した．

$$ AH = 3 , BC = 4 , AO = 1$$

このとき，$AB$ の長さを求めてください．

解答形式

互いに素な正整数 $b , c$ および正整数 $a$ を用いて $\dfrac{\sqrt{a} - b}{c}$ と表されるので，$a + b + c$ を答えてください．

問題文

ある三角形の内心を中心とする半径 $2024$ の円が，その三角形の頂点のうちの一つと，その三角形の外心，垂心を通りました．この三角形の外接円の半径としてあり得る値の総和の整数部分を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$\quad$三角形 $ABC$ において，内心を $I$ ，角 $A$ 内の傍心を $I_A$ ，外心を $O$ とすると，直線 $II_A$ と直線 $IO$ は垂直に交わった．線分 $BC$ の中点を $M$ ，線分 $II_A$ と線分 $BC$ の交点を $K$ とし，三角形 $MKI_A$ の重心を $G$ とすると， $$KM=1，KG=3$$が成立した．このとき，線分 $BC$ の長さを求めよ．

解答形式

求める値の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので， $a+b$ を半角数字で解答してください．

三角形 $ABC$ について, 内心を $I$ , $A$ に関する傍心を $I_A$ , $\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$ , 三角形 $ABC$ の外接円上の点であって, 点 $A$ を含まない方の弧 $BC$ の中点を $M$ とします.

$AM=27,MI_A=8$ のとき, $ID$ の長さを求めてください. ただし, 答えは有理数となるため, 既約分数 $a/b$ と書いたときの $a+b$ を答えてください.

$3$ 点 $A,B,C$ はこの順で一直線に並んでおり，$AC,AB,BC$ を直径とする円をそれぞれ $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ とし，点 $B$ を通る直線と $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ の交点を，$P,Q,B,R,S$ の順に並ぶように定めると，
$$AB<BC,\quad AB=\sqrt{390},\quad QB=18,\quad BR=24$$
が成り立ちました．このとき，互いに素な正整数 $m,n$ を用いて $PB:BS=m:n$ と表されるので，$m+n$ の値を解答してください．

問題文

ある三角形は内接円の半径が $9$、外接円の半径が $25$、傍接円の一つの半径が $\sqrt{2025}$ です。この三角形の面積を求めてください

解答形式

解答は正の整数値になるので、その値を解答してください。

問題文

凸四角形$ABCD$は$\angle{BAC}$$=$$12^\circ$$,$$\angle {CAD}$$=$$30^\circ$$,$$\angle{ACD}$$=$$24^\circ$$,$$AB=CD$を満たします.このとき、$\angle{ADB}$の値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$度となるので、積$ab$の値を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

問題文

三角形 $ABC$ の外心を $O$，垂心を $H$，外接円を $\Gamma$ とする．そして，以下のように点を4つとる．

• 直線 $BH$ と $\Gamma$ との交点を $P(\not=B)$ とする．
• 直線 $PO$ と $\Gamma$ との交点を $Q(\not=P)$ とする．
• 直線 $QH$ と $\Gamma$ との交点を $R(\not=Q)$ とする．
• 直線 $RO$ と $\Gamma$ との交点を $S(\not=R)$ とする．

このとき，3点 $ C,H,S$ が同一直線上にあった．

$$AH=17 , AO=11$$

のとき，三角形 $ABC$ の面積を求めてください．

解答形式

答えを2乗した値は，互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を求めてください．

円 $\Omega$ に内接する三角形 $ABC$ があり，$AB=13,BC=14,CA=15$ を満たしています．
　線分 $BC$ の中点を $M$，$A$ を通り直線 $BC$ と直交する直線と $\Omega$ との交点のうち $A$ でない方を $D$ とします．
　直線 $AM,DM$ と $\Omega$ との交点のうちそれぞれ $A,D$ でない方を $P,Q$ とし，直線 $BC$ と直線 $PQ$ との交点を $R$ とするとき，三角形 $MQR$ の面積は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

問題文

$\angle{A} = 60^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ の内心を $I$，外心を $O$ とする．直線 $IO$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とし，直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点を $E(\not = A)$ とすると，以下が成立した:

$$EI = 23 , IO = 18$$

このとき，線分 $AI$ の長さは，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a + b$ を解答してください．

問題文

$n$ を $3$ 以上の整数とする。点 $\mathrm{O}$ を中心とする、半径 $1$ の円の形をしたピザがある。ピザの周上には、等間隔に点 $\mathrm{P}_1,\ldots,\mathrm{P}_n$ が並んでいる。

線分 $\mathrm{OP}_1$ 上に、線分 $\mathrm{OO'}$ の長さが $d$ となるような点 $\mathrm{O'}$ をとる。ここで $0< d < 1$ は定数である。ピザを線分 $\mathrm{O'P}_1,\ldots,\mathrm{O'P}_n$ によって分割し、分けられた $n$ 個のピザのうち線分 $\mathrm{P_1P_2,P_2P_3,\ldots, P_nP_1}$ を含む部分の面積を、それぞれ $S_1,\ldots,S_n$ とする。

$S_i$ の 平均はもちろん $\displaystyle \bar{S}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}S_i=\frac{\pi}{n}$ である。では、$S_i$ の分散 $\displaystyle \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(S_i-\bar{S})^2$ はどうなるだろうか。以下の空欄を埋めよ。

（１）$\displaystyle \frac{\sigma ^2}{d^{\alpha}}$ が $d$ によらない定数となるような $\alpha$ の値は $\alpha=\fbox{ア}$ である。$n=12$ のとき、$\sigma^2$ を具体的に計算すると

$$
\sigma ^2 = \frac{\fbox{イ}-\sqrt{\fbox{ウ}}}{\fbox{エ}}d^{\fbox{ア}}
$$

である。

（２）極限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{\beta}\sigma^2$ が $0$ でない有限の値に収束するような $\beta$ の値は $\beta=\fbox{オ}$ である。$\displaystyle d=\frac{1}{12\pi}$ のとき、その極限値は

$$
\lim_{n\to\infty}n^\fbox{オ}\sigma^2 = \frac{\fbox{カ}}{\fbox{キクケ}}
$$

である。

解答形式

ア〜カには、0から9までの数字が入る。
（１）の答えとして、文字列「アイウエ」を半角で1行目に入力せよ。
（２）の答えとして、文字列「オカキクケ」を半角で2行目に入力せよ。
なお、「ア」や「オ」には0や1が入ることもありうる。
また、分数はできるだけ約分された形で、根号の中身が最小となるように答えよ。
3行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。