TMC001(H)

正整数 $a,b$ であって以下が整数になるようなすべての組 $(a,b)$ について $ab$ の総和を求めてください
$$
\frac{(3ab+2a+4b-6)^2}{13(a^2b^2+a^2+4b^2+4)}
$$

問題

$実数全体で定義され、実数値を取る定数でない関数f(x)がある。$
$この関数が任意の実数x,yについて恒等式$
$$f(x^2+y)＝f(kx^2+2y)-f(3x^2)$$
$を満たすとき、定数kの値を求めよ。$

$$問　題$$
$実数全体で定義され、実数値を取る定数でない関数f(x)がある。$
$この関数が任意の実数x,yに対して恒等式$
$$f(x ^2+y)＝f(kx ^2+2y)−f(3x ^2)$$
$を満たすとき、定数kの値を求めよ。$

問題文

以下の式の値を $1000$ で割った余りを答えよ
$$
47!\sum_{k=1}^{45}\
\frac{2k^{3}+7k^{2}+5k-3}{(k+2)!}
$$

解答形式

正整数で回答してください

鋭角三角形$ABC$について,その垂心を$H$,外心を$O$,線分$AB$,$BC$,$CA$の中点をそれぞれ$L,M,N$とします.円$OMN$と直線$LN,LO,LM$の交点のうち,$N,O,M$でないほうをそれぞれ$P,Q,R$とすると以下が成立しました.
$$
AH=6,LN=4, PC\perp CR.
$$
この時,線分$OQ$の長さの二乗の値は互いに素な正の整数$a,b$を用いて$\frac ab$と表せるので$a+b$を回答してください.

問題文

正整数値に対して定義され正整数値をとる関数 $f(x)$ は，任意の正整数 $a, b, c$ において，以下を満たしました．
$$
f(a)+f(b)+f(c)=f(abc)+2
$$また，$f(15)=15$ を満たすとき，$f(2025)$ としてあり得る値の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$f(x)=\frac{3-x}{ \sqrt{3(x+2)(-2x+1)}}$ $ (-2<x<0)$ とする
$f(x)$ が最小値を取るときの $x$ の値を求めよ

解答形式

解答は$-\frac{㋐}{㋑}$の形で表されるので、1行目に㋐を、2行目に㋑を半角数字で入力してください

問題文

△ABCの内接円が辺ABと点D、辺BCと点E、辺CAと点Fで接する。角ACBの二等分線と辺ABの交点をG点Dから線分EFに引いた垂線と辺BCの交点をH とすると、
$$BG=8,BD=6,BH=\frac{31}{2}$$
となった。
この時HCの長さを求めよ。

解答形式

求める長さは互いに素なa,bで$$\frac{a}{b}$$と表せるのでa+bを解答してください。

問題文

$202\times5$ のマス目があり，それぞれのマスに上下左右のいずれかの矢印が書かれており，以下の $2$ つを満たしました．

• 任意のマスについて，そのマスに書かれている矢印の方向に動くということを繰り返すことで元のマスに戻ることができる．

• 互いに向かい合っているような矢印は存在しない．

• $3$ 列目に書かれた $202$ 個の矢印の中に，左向きの矢印は存在しない．

条件を満たすように矢印を書き込む方法は $N$ 通りあります．$N$ を$2$ つの素数の積 $197\times199$ で割った余りを求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

設問1

数列 ${a_n}$ が $a_1 = 1, a_2 = 4$ および漸化式 $a_{n+2} - 4a_{n+1} + 4a_n = n \cdot 2^n$ ($n \ge 1$) を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

半角1スペースで答えのみ

問題文

$a>0,b>0$ のとき、
$a^{4}+4a^{3}b+2a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\geq0$ を示せ

解答形式

記述形式でお願いします
入力がめんどくさい方は、紙に書いて、twitterのDMに送ってください

設問4

数列 ${a_n}$ が $a_0=1, a_1=0, a_2=-1$ および漸化式
$$ a_{n+3} - 3a_{n+2} + 3a_{n+1} - a_n = 2^n \quad (n \ge 0) $$
を満たす。一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。