三角関数が入った漸化式

問題文

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{100}=100$を満たす100個の非負整数の組$a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{100}$の全てについて、
$$\frac{1}{a_{1}!a_{2}!a_{3}!...a_{100}!}$$の総和を求めてください。

解答形式

答えが異なる自然数a,bを用いてa^b/b!という形で表されるため、a+bを回答してください。

問題文

次の定積分の値を求めよ．
$$
\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\frac{\cos x}{1+e^{\sin x}}dx
$$

解答形式

半角数字で答えのみ解答してください．
答えが分数となる場合，例えば$-\frac{11}{2}$などとなる場合は-11/2のように解答してください．

問題文

完全数たる半素数を全て求めよ。

註

完全数：その数自身を除く正の約数の総和が，その数自身に等しい数。e.g. $28=1+2+4+7+14$
半素数：$2$ つの素数の積で表される数。

解答形式

解が複数ある場合には，小さいものから順に並べ，半角のカンマ「,」で区切り入力してください。スペースは不要です。

問題文

半径$15$の円$ω$についてある直径$AB$を考える．
$AB$を三等分する点を順に$P,Q$とし(つまり$A・P・Q・B$の順に点が並ぶ)，
$AP$を直径とする円$X$を描く．
また$AB$に直交する直径$CD$について同様に$R,S$を取り($C・R・S・D$の順)，$CR$を直径とする円$X'$を描く．
ここで円$X$の接線の内$CD$と平行で且つ円$X'$側のものを直線$F$，円$X'$の接線の内$AB$と平行で且つ円$X$側のものを直線$G$とする．
直線$F,G,$円$ω$に接する円$T$として考えられるものは$2$つあるが，そのうち小さい方の半径を求めよ．

解答形式

答えは整数$n,l$と平方因子を持たない自然数$m$で$n\sqrt{m}+l$と書ける．
$n+m+l$を求めて下さい．
全て半角で打ち込むこと．

追記

続編(normal)：https://pororocca.com/problem/2048/

問題文

二等辺三角形ABCがあり、AB＝AC＝xcmである。また、頂角は150°である。下の式が二等辺三角形ABCの面積の値と等しくなった時、xの数値を求めなさい。(・は掛け算の×を表しています)

$$
\frac{x^4-10x^2+9}{(x+1)(x+3)(x-3)} + \sqrt{25+4\sqrt{6}} \cdot \sqrt{25-4\sqrt{6}} + \frac{(x+2)^3-(x-2)^3}{12x} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{1}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} + 19
$$

解答形式

x＝は必要ありません。数値のみを記入してください
(例) 810

問題文

以下の値を求めてください。
$$
\sum_{n=1}^{90}\sum_{k=1}^{n}\Big\lfloor{\frac{46}{91}+\frac{k-1}{n}}\Big\rfloor
$$

解答形式

答えは整数値になるので、半角数字で入力してください。

問題文

$n, k$ を正の整数とし，

$$
A_n = n! + k^2 + 2k + 2
$$

とする。$1 \le k \le 100$ の範囲で，次の (＊) を満たす $k$ を全て求めよ。

(＊)　$A_n$ が平方数となる $n$ が少なくとも$1$つ存在する。

解答形式

$k$の値を半角数字で、小さい順に$1$行目から各行左詰めで入力してください。
例)
1
3
5

問題文

aiueaiuの７字を並べるとき少なくとも1つの「ai」が「ue」よりも前にあるのは何通りか。

解答形式

例）半角英数字。

問題

解答形式

例）(1)はb√c/aとなるので、a,b,cの値をそれぞれ1,2,3行目に書いてください
⑵はdπ/eとなるので、d,eの値を4,5行目に書いてください

問題文

点の定義は次をチェック(https://pororocca.com/problem/2047/)
円$X,X',ω$に接する円の内，小さい方の円$T'$の半径を求めよ．

解答形式

答えは互いに素な整数$a,b,c,d$を用いて，$\frac{a+b\sqrt{c}}{d}$と書けるので，$a+b+c+d$を求めて下さい．但し$d＞0$とします．
なお，半角で打ち込むこと．

問題文

以下の表はある旧帝一工(前期)で過去に出題された数学の問題に出てくる関数の増減表である。
出題された年度と大学名を答えてください。
$※$ $f(x)$ とは私が勝手に置いたものです。

・インターネット上の過去問サイトに掲載されている旧帝一工(医科歯科を除く)の問題です。
・過去問データベースなどで問題を確認したり，検索してみても構いません。
・ヒントと称していますが，ヒントがないと一意に定まらない場合があります。

解答形式

年度と大学名を答えてください
例) 年度は半角数字です。
2026年大阪大学
2026年九州大学
2026年京都大学
2026年東京工業大学
2026年東京大学
2026年東北大学
2026年名古屋大学
2026年一橋大学
2026年北海道大学

問題文

単位円を外接円とする $\triangle ABC$ について，3辺の平方和 $s = a^2 + b^2 + c^2$ が最大となる条件を示し，その最大値を求めよ。

解答形式

3辺の平方和の最大値を入力してください。