最大最小問題①

第3問

$t$が実数全体を動くとする。
このとき、点$$(\frac{1}{1+t^2},\frac{t}{1+t^2})$$はどのような図形を描くか答えよ。

解答する際の注意

答えの図形が正確に分かるようにお答えください。

第7問

次の定積分を求めよ。$$\int_{0}^{\frac{π}{2}}{\frac{dx}{1+tanx}}\quad$$

問題文

三角形$ABC$の内心を$I$とし直線$AI$と三角形$ABC$の外接円の交点のうち$A$でないものを$M$, 直線$AM$と$BC$の交点を$D$，$A$から $BC$への垂線の足を$H$とすると$AD=4, BH=DM=2 $であった. このとき$CD$の長さは正の整数$a,b$を用いて$\sqrt{a} -b$と表せるので，$ a+b$を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

第1問

次の空欄$(ア)～(オ)$に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
数列{$a_{n}$}を次のように定める。
$$a_1=a_2=1,a_{n+2}-a_{n+1}+a_n=0　(nは自然数)$$この数列の一般項は

$a_n=\frac{(ア)}{\sqrt{(イ)}}$$sin\frac{nπ}{(ウ)}$
である。
また、$a_{2025}=(エ)$であり、$$\sum_{n=1}^{2025}{a_n}=(オ)\quad$$である。

第2問

次の空欄$(ア)～(エ)$に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
関数$f(x)$を$$f(x)=\frac{log(x)}{x}$$と定める。
$f(x)$は、$x=(ア)$で、極大値$\frac{(イ)}{e}$をとる。
また、$$\int_1^e{f(x)dx}\quad$$
の値は$\frac{(ウ)}{(エ)}$である。

ただし、対数は自然対数を表し、$e$は自然対数の底とする。

問題文

$f^{1031}(x)=f(x)$を満たし、かつ$f(1031)=1031$である多項式関数$f(x)$をすべて求めよ。
ただし、$f^{1031}(x)=\underbrace{f(f(\cdots f}_{1031個}(x)\cdots))$とします。

解答形式

簡単な証明もお願いします。

問題文

$AB＝AC$ の鋭角二等辺三角形がありその垂心を $H$ とします．線分 $BC$ 上に点 $D$ をとり，点 $P,Q$ を $APQD$ がこの順に一直線上に並ぶようにとると $4$ 点$ACHP$，$4$ 点 $ABHQ$ はそれぞれ共円であり，
$$BD＝15,\quad CD＝25,\quad PQ＝8$$
が成立しました．このとき， $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

与式を因数分解せよ。x^6 - 41x^5 + 652x^4 - 5102x^3 + 20581x^2 - 40361x + 30030

回答の仕方

因数分解された式のみ回答

問題文

数列{$a_{n}$}を次の条件により定める。
$$
a_{1}=a_{2}=1,
a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n}=0
　(n=1,2,3,...)$$
これについて、次の問いに答えよ。
$(1)$　$a_{3}$を求めよ。
$(2)$　$a_{2025}$を求めよ。
$(3)$　$\sum_{n=1}^{2025}\quad{a_{n}}$を求めよ。

解答形式

答えのみを半角算用数字で答えてください
例えば(1)の答えが3、(2)の答えが100、(3)の答えが80のときは、
3,100,80
のように答えてください。

第4問

$θ$を媒介変数とし、次のように表される曲線$C$を考える。$$\begin{cases}x=θ-sinθ\\y=1-cosθ\end{cases}$$
$0≦θ≦2π$として、この曲線$C$の長さ$L$を求めよ。

問題文

$n ≧2$を整数、$p $を素数とする。正の整数 $x$ についての方程式
$x^n - (x-p)^n = p^n$
を考える。
$p$ が奇素数であり、$p$が $x$ を割り切らないとき、この方程式は解を持たないことを示せ。

解答形式

何の定理を使用したかを明確にされた上で、数式を出来るだけ省いてもらった形の簡単な証明で構いません

第6問

次の問に答えよ。
$(1)$ $cos3θ=4cos^3θ-3cosθ$を示せ。
$(2)$ $cos4θ$を$cosθ$の整式で表せ。
$(3)$ $cos\frac{2}{7}π$が無理数であることを示せ。