連立方程式の応用（二元連立方程式）

問題文

四角形$ABCD$があり、次の条件を満たします。

$∠A=∠B=∠C, ∠D=135°, BC=4\sqrt{6}, CD=8$

この四角形の面積$S$は$a + \sqrt{b}$の形で表されるので、$a + b$を解答してください。

解答形式

半角数字で答えをそのまま入力。

余談

問題に不備等あればtwitterのDMなどで気軽にお願いします。
Tex初めて使いました。
問題思いつくのは簡単なんですけど、解説は未だに上手く書けませんね…

問題

$AB=AC$なる二等辺三角形$ABC$について, $A$から$BC$に下した垂線の足を$H$とし, 線分$AH$上に点$P$をとると,
$$
AP=5　PH=3　∠PBC=∠PAC
$$
が成立した. このとき, 三角形$ABP$の面積の2乗を解答せよ.

問題

$AB=3$なる鋭角三角形$ABC$について, $AC$, $BC$の中点をそれぞれ$M$, $N$とすると, $AN=4$が成立した. また, 三角形$ANC$の外接円と直線$MN$との交点のうち, $N$でないほうを$D$とすると, $DC=9$が成立した. このとき, $AD$の長さの二乗は互いに素な正整数$a$, $b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので$a+b$を解答せよ.

問題文

$P=122333444455555666666777777788888888999999999 $とする。
$P$を素因数分解せよ。

解答形式

$P$の素因数の総積を半角数字で入力してください。
ただし、この問題は難しい計算をする必要がないことが保証されます。

問題

鋭角三角形$ABC$について, 外心を$O$, 垂心を$H$とする. $B$から$AC$に下した垂線の足を$D$とすると,
$$
AD=3　OH=OD　BH:HC=7:18
$$
が成立した. このとき, 線分$BD$の長さの$2$乗は互いに素な正整数$a$,$b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので, $a+b$を解答せよ.

問題文

$p,q$を素数とする。
$pq(p+q)$が平方数となるものをすべて求めよ。

解答形式

ありうる組$(p,q)$について$pq$の総和を半角数字で入力してください。

問題文

$$
p^{q+r} +q^{p+r} +r^{p+q}が素数となるような10以下の素数の組(p,q,r)の個数を求めよ。
$$

解答形式

半角数字で解答してください。覚悟して解いてください。

問題文

円Oが存在して、円O上に点A,B,C,Dをこの順に配置する。角ABD、角DCAそれぞれの二等分線の交点をE、角BAC、角CDBそれぞれの二等分線の交点をF、BDとACの交点をG、△ABG、△DCGそれぞれの内心をI,I’とする。
$$AB=\frac{19}{2},EF=11,△ABI=\frac{19}{2} $$
の時、四角形EIFI’の面積を求めよ。

解答形式

求める値は互いに素な正整数a,bでa/bと表せるので、a+bを解答してください。

問題文

$f(x)=\frac{3-x}{ \sqrt{3(x+2)(-2x+1)}}$ $ (-2<x<0)$ とする
$f(x)$ が最小値を取るときの $x$ の値を求めよ

解答形式

解答は$-\frac{㋐}{㋑}$の形で表されるので、1行目に㋐を、2行目に㋑を半角数字で入力してください

問題

整数 $x,y$ と数列 $z_k=|x-k|+|y-k|$ に対し，次の命題は $xy\leqq 7!$ の反例を何組もつか．

• ある非負偶数 $k$ で $z_k\lt 2$ は，辺長 $x^3+8,\ y^3+8,\ 6xy+8$ の三角形が存在する必要条件である．

解答形式

半角数字で入力してください．

設問4

数列 ${a_n}$ が $a_0=1, a_1=0, a_2=-1$ および漸化式
$$ a_{n+3} - 3a_{n+2} + 3a_{n+1} - a_n = 2^n \quad (n \ge 0) $$
を満たす。一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

線分$AB$を$1:k(k>0)$に内分する点$P$と，線分$AB$の中点$M$がある。 $PB＝3，PM=\frac{3}{4}$のとき，$k$の値として相応しいものを以下の選択肢からふたつ選べ。

1．$\frac{1}{3} $
2．$\frac{2}{3} $
3．$2$
4．$3$

解答形式

ふたつ目は改行して答えてください。
例)
1
2