図形の応用　長さについて

問題文

半径が共に10である円Oと円O‘があり、それぞれの中心にそれぞれの円周が重なっている。また、円Oと円O’の円周の交点をそれぞれA、Bとする。
円PはABを直径とする円である。
次の(ア)〜(エ)に当てはまる数字を求めなさい。

斜線部の面積は$\frac{(ア)}{(イ)}\pi+(ウ)\sqrt{(エ)}$である

解答形式

(ア)〜(エ)に当てはまる数の和を答えてください。

問題文

長方形ABCDがあり、AB＝X cm、AD＝Ycmとする。(X:Y＝1:2)
CB＝CEとなるよう、AD上に点Eをとる。
点Pは頂点Bから頂点Cまで動く。
CEとPDの交点をSとする。
このとき、三角形CBE相似三角形EPSになるような場所に点Pがあるとき、次の(ア)〜(ウ)にはいる数字を答えなさい。

BP:PC＝(ア):√(イ)+(ウ)

解答形式

ア、イ、ウの順に、間に点を入れながら答えてください。1行で答えること。
(例)
1、2、3

問題文

次の$(ア)〜(エ)$に当てはまるものを下の(1)〜(14)から選びなさい。

正 $n^{2026}$角形($n$は2以上の整数)の対角線の本数は$\frac{(ア)-(イ)\times(ウ)}{(エ)}$本である。

(1)$n^{2026}$ (2)$n^{4052}$ (3)$n^{1013}$ (4)$n ^{36}$ (5)$n^6$
(6)0
(7)1
(8)2
(9)3
(10)4
(11)5
(12)36
(13)37
(14)38

解答形式

(1)〜(13)で、選んだ4つの()の中身の数字を足したものを答えてください

(例)
(ア)が(1)、(イ)が(2)、(ウ)が(3)、(エ)が(4)の場合、1+2+3+4=10なので10と答える

問題文

印がついている辺は長さが等しく、平行マークがついている辺は平行である。
この時、角xと角yの値を求めなさい。

解答形式

行ごとにジャッジするため、1行目に角xの値を入力し、2行目に角yの値を入力してください。
角x=や°は入りません。数値のみを答えてください。

問題文

$x、y$は実数である。{$x⭐︎y$}を次のように定義する。
{$x⭐︎y$}$=ax+by$
$(a、bは実数)$

次の$(ア)〜(キ)$に当てはまる数、または文字を求めよ。
※解なしの場合は0と答えること。

(1){$101⭐︎99$}$=401$かつ{$99⭐︎101$}$=399$である時、$a=(ア)、b=(イ)$である

(2) {$9⭐︎3$}$=12$かつ{$15⭐︎5$}$=30$である時、$a=(ウ)、b=(エ)$である

(3){$a⭐︎b$}$=650$である時、$b=a^2$になりました。この時、考えうる全ての$(a,b)$は$(オ)$組みあり、それら全ての和は$(カ)$になります

※例として(1,3)、(3,1)、(2,2)の3組だけの時は(オ)の中身は3、(カ)の中身は12になります。

(4){$2a⭐︎-2a+2$}$=0$となる$(a,b)$の組みは下の画像で$(キ)$個あります

解答形式

行ごとにジャッジするため、(1)のカタカナに当てはまる数または文字の和を1行目に答え、同様にして次の行に(2)のカタカナに当てはまる数または文字を。その次の行に(3)を。その次の行に(4)を答えてください。
文字が入っている場合は$x=10、y=20、a=30、b=40$とみなしてください。

(例)
(1)において、$(ア)、(イ)$に当てはまる数または文字の和が
$50+a$の場合
1行目に80と答えてください。

問題文

図形ABCDEFGHIJKLMNは一辺が1の立方体の展開図である。DK、AG、GLをむずんだ。さらに、DKとBIの交点をPとし、PMを結んだ。この時、次の$(ア)〜(エ)$に当てはまる数を答えなさい。

(1)色が塗られた三角形の面積は$\frac{√(ア)}{(イ)}$である

(2)角PMB=a°とする。角AGBをaを用いて表した式において、a°＝23°を代入するとその式の値は$\sqrt{(ウ)}$ °になる。
(実際にはa°≠23°だが、回答の都合のため)

(3)下の文において、真であるものは$(エ)$個ある
・△PMDと△PAGの面積は等しい
・△MFKと△FDPは相似である
・AGとDKは垂直である
・MFとAGとの交点をQとすると、角MQG-90°=45°である
・GLとDKの交点をRとするとGR:RL=2:1である
・$\frac{5√3}{4}$(MP+$\frac{1}{3}$AG+MI)=GL

解答形式

行ごとにジャッジするため、1行目に(ア)に入るものを、2行目に(イ)に入るもを答えるような感じで、行を変えながら()に入る数のみ答えなさい。
(例)
5
3
11451
811

問題文

「正方形と正三角形　Part1」に続いており、誘導のようになっているため、Part1を解いていない方は先にPart1を解いておくことをお勧めします♪
誘導なしでもﾃﾞｷﾙｹﾄﾞ､､､

四角形ABCDは正方形である。辺AD上に点P、BCの延長線上に点Qを取ると、三角形PBQは正三角形になる。DCとPQの交点をRとする。AP上にSを取ると三角形SBRも正三角形になる。次の問いに答えなさい。

SRとPBの交点をTとする。SBはSTの何倍であるか答えなさい。

解答形式

◯倍のような「倍」はつけずに数字や記号のみで答えてください。√、+、-などを使う場合はカタカナで表記してください。2+√2のように、√の数よりも先に2などの整数を答えてください。√同士であれば、中身の数が少ない順に答えなさい。
√→ルート
+→プラス
-→マイナス
(例)3
　　2ルート3
　　3マイナスルート2プラスルート3

問題文

二次関数 $y=2x^2$ と一次関数 $y=-x\sqrt{3}-a$ があり、 $y=-x\sqrt{3}-a$ は $y=2x^2$ に接している。また、 $x$ 軸と $y=-x\sqrt{3}-a$ を接線とする円 $O'$ があり、中心の $x$ 座標は $\frac{39\sqrt{3}}{8}$ である。直線 $m$ は $y=-x\sqrt{3}-a$ に垂直であり、円 $O'$ の接線でもある。直線$m$と$y=-x\sqrt{3}-a$ との交点を$P$とする。次の $(ア)$ 〜 $(セ)$ に当てはまる数字を答えなさい。

(1)三角形ABOの面積は$\frac{(ア)\sqrt{(イ)}}{(ウ)}$
である

(2)円O‘の半径は$(エ)$である

(3)三角形A’B‘C’の面積は$\frac{(オ)\sqrt{(カ)}+(キ)}{(ク)}$
である

(4)直線mの式は$y=\frac{\sqrt{(ケ)}}{(コ)}x-\frac{(サ)\sqrt{(シ)}+(ス)}{(セ)}$

である

解答形式

1行目から始めて、行ごとに変えて答えなさい。一つの()に入る数字を1行に書き、次の()に入る数は下の行に書くような感じで間を空けないこと。
一つの()の中に複数の数字が入る場合もあります
(例)
$\frac{2}{3-\sqrt{5}}$を有利化すると$\frac{(ア)+\sqrt{(イ)}}{(ウ)}$
である

↓答える
↓
3
5
2

一つの()の中に複数の数字が入る場合

3-(ア)=-13
↓答える
↓
16

問題文

この時、色の塗られた部分の面積は(ア)√(イ)である

解答形式

(ア)+(イ)を答えてください。数字のみで答えなさい。分数になった場合は分母+分子を答えなさい。

(例)

(ア)=6、(イ)=6の場合
12と答えればOK

(ア)=4、(イ)=3/2の場合
(ア)+(イ)=11/2なので、
11+2=13より、
13と答えればOK

問題文

二等辺三角形ABCがあり、AB＝AC＝xcmである。また、頂角は150°である。下の式が二等辺三角形ABCの面積の値と等しくなった時、xの数値を求めなさい。(・は掛け算の×を表しています)

$$
\frac{x^4-10x^2+9}{(x+1)(x+3)(x-3)} + \sqrt{25+4\sqrt{6}} \cdot \sqrt{25-4\sqrt{6}} + \frac{(x+2)^3-(x-2)^3}{12x} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{1}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} + 19
$$

解答形式

x＝は必要ありません。数値のみを記入してください
(例) 810

問題文

Aさんは今一個のチョコレートを持っています。もっとチョコレートがほしくなりチョコレートが同時に4個出る機械からチョコレートを1200個ゲットしようと思ってます。同時に4個出たときそれを一サイクルとすると何サイクル目で到達しますか？

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

長方形ABCDがある。(AB＜AD)
点Pは頂点Bを出発して頂点Cまで動く。途中、角APDが直角になった時が2回あった。
ここで、1回目に直角になった時の点Pの位置をQとし、2回目に直角になった時の点Pの位置をRとする。また、AB=X、AD=Yとする。
BQ＝2cm、QR＝4cmである時、X、Yはそれぞれ何cmだと考えられるか？

解答形式

下の形式のようにX、Yは大文字、cmは小文字で、2行構成で答えなさい。ただし√、-、+が含まれる場合はカタカナで答えなさい。
√2-1→ルート2マイナス1
5√17→5ルート17
√2/3→3分のルート2
(例)
Xcm＝◯◯cm
Ycm＝◯◯cm