早慶レベルの高校入試(自作)

問題文

半径が2である大円Oとその中心上を通る小円O‘がある。また、それぞれの円周の交点をA、Bとする。
小さい方の弧AB上に弧AP:弧PB＝1:2となるような点Pをとると、角APB＝135°になりました。
次の(ア)〜(カ)に当てはまるものを(1)〜(18)の中から選びなさい。同じものを選んでも良いものとする。

この時、色が塗られた面積(大円と小円が重なっている部分の面積)を求めると
$\frac{(ア)\sqrt{(イ)}}{(ウ)}-\frac{\sqrt{(エ)}+(オ)}{(カ)}$
になります

(1)$i$
(2)$\pi$
(3)$e$
(4)3
(5)2
(6)6
(7)5
(8)7
(9)8
(10)13
(11)16
(12)19
(13)15
(14)25
(15)21
(16)32
(17)20
(18)35

解答形式

(ア)〜(カ)に当てはまる()ないの数字を全て足して答えなさい。
(例)
(ア)に入るのが(1)
(イ)に入るのが(2)
(ウ)に入るのが(3)
の場合
1+2+3=6より
6と答えれば良い

問題文

四角形ABCDは一辺が4の正方形である。ABの中点をOとする。弧BDは頂点Cを中心とし、CDを半径とする円の一部である。半円ABはOを中心とし、BCを直径とする円の一部である。
頂点Bとは異なる弧BDと半円ABの交点をPとする。また、OPの延長線とADの交点をEとする。
次の(ア)〜(ウ)に当てはまる数を答えなさい。

(1)角OPC=$(ア)$ °である

(2)DE＝$\sqrt{\frac{(イ)}{(ウ)}}$である

四角形ABCDと同じ図である、四角形A‘B’C‘D’をDCとB‘C’が共有するように置いた。また、四角形A‘B’C‘D’においてOはO’となり、PはQになる。
次の(エ)〜(キ)に当てはまる数を答えなさい。

(3)角QO‘R＝90°となるような点Rを弧QB‘上にとった。この時角QRP＝$(エ)°$である

(4)QP＝${(オ)}\sqrt{(カ)}$である

(5)図形AOPQO‘の面積は$\sqrt{(キ)}$である

解答形式

行ごとにジャッジするため、
1行目に(1)に当てはまる数の和を答える、2行目に(2)に当てはまる数の和を答える､､､などのようにして答えなさい。(5)まであるので全部で5行しか使わない。
(例)
(ア)＝5、(イ)=2、(ウ)=3、(エ)＝4の時、
↓
5
5
4
と答えれば良い。

問題文

次の$(ア)〜(エ)$に当てはまるものを下の(1)〜(14)から選びなさい。

正 $n^{2026}$角形($n$は2以上の整数)の対角線の本数は$\frac{(ア)-(イ)\times(ウ)}{(エ)}$本である。

(1)$n^{2026}$ (2)$n^{4052}$ (3)$n^{1013}$ (4)$n ^{36}$ (5)$n^6$
(6)0
(7)1
(8)2
(9)3
(10)4
(11)5
(12)36
(13)37
(14)38

解答形式

(1)〜(13)で、選んだ4つの()の中身の数字を足したものを答えてください

(例)
(ア)が(1)、(イ)が(2)、(ウ)が(3)、(エ)が(4)の場合、1+2+3+4=10なので10と答える

問題文

図形ABCDEFGHIJKLMNは一辺が1の立方体の展開図である。DK、AG、GLをむずんだ。さらに、DKとBIの交点をPとし、PMを結んだ。この時、次の$(ア)〜(エ)$に当てはまる数を答えなさい。

(1)色が塗られた三角形の面積は$\frac{√(ア)}{(イ)}$である

(2)角PMB=a°とする。角AGBをaを用いて表した式において、a°＝23°を代入するとその式の値は$\sqrt{(ウ)}$ °になる。
(実際にはa°≠23°だが、回答の都合のため)

(3)下の文において、真であるものは$(エ)$個ある
・△PMDと△PAGの面積は等しい
・△MFKと△FDPは相似である
・AGとDKは垂直である
・MFとAGとの交点をQとすると、角MQG-90°=45°である
・GLとDKの交点をRとするとGR:RL=2:1である
・$\frac{5√3}{4}$(MP+$\frac{1}{3}$AG+MI)=GL

解答形式

行ごとにジャッジするため、1行目に(ア)に入るものを、2行目に(イ)に入るもを答えるような感じで、行を変えながら()に入る数のみ答えなさい。
(例)
5
3
11451
811

問題文

△ABCは角ACB＝90°、角ABC=30°の直角三角形である。また、BC=$\frac{123\sqrt{3}+9921}{4}$でもある。
弧PCはBCを半径とする円の一部であり、弧PQはBPを直径とする円の一部である。
この時、次の面積の値を求めなさい。

(あ)-(い)

解答形式

答えのみを答えてください。√を含む場合はカタカナでルートと答えてください。
マイナスはハイフンを用いてください。プラスは以下の記号をコピペしてご利用ください。
+

(例)
2√3
↓
2ルート3
と答えてください

(2-√2)/2
↓
(2-ルート2)/2
と答えてください

問題文

$x、y$は実数である。{$x⭐︎y$}を次のように定義する。
{$x⭐︎y$}$=ax+by$
$(a、bは実数)$

次の$(ア)〜(キ)$に当てはまる数、または文字を求めよ。
※解なしの場合は0と答えること。

(1){$101⭐︎99$}$=401$かつ{$99⭐︎101$}$=399$である時、$a=(ア)、b=(イ)$である

(2) {$9⭐︎3$}$=12$かつ{$15⭐︎5$}$=30$である時、$a=(ウ)、b=(エ)$である

(3){$a⭐︎b$}$=650$である時、$b=a^2$になりました。この時、考えうる全ての$(a,b)$は$(オ)$組みあり、それら全ての和は$(カ)$になります

※例として(1,3)、(3,1)、(2,2)の3組だけの時は(オ)の中身は3、(カ)の中身は12になります。

(4){$2a⭐︎-2a+2$}$=0$となる$(a,b)$の組みは下の画像で$(キ)$個あります

解答形式

行ごとにジャッジするため、(1)のカタカナに当てはまる数または文字の和を1行目に答え、同様にして次の行に(2)のカタカナに当てはまる数または文字を。その次の行に(3)を。その次の行に(4)を答えてください。
文字が入っている場合は$x=10、y=20、a=30、b=40$とみなしてください。

(例)
(1)において、$(ア)、(イ)$に当てはまる数または文字の和が
$50+a$の場合
1行目に80と答えてください。

問題文

「正方形と正三角形　Part1」に続いており、誘導のようになっているため、Part1を解いていない方は先にPart1を解いておくことをお勧めします♪
誘導なしでもﾃﾞｷﾙｹﾄﾞ､､､

四角形ABCDは正方形である。辺AD上に点P、BCの延長線上に点Qを取ると、三角形PBQは正三角形になる。DCとPQの交点をRとする。AP上にSを取ると三角形SBRも正三角形になる。次の問いに答えなさい。

SRとPBの交点をTとする。SBはSTの何倍であるか答えなさい。

解答形式

◯倍のような「倍」はつけずに数字や記号のみで答えてください。√、+、-などを使う場合はカタカナで表記してください。2+√2のように、√の数よりも先に2などの整数を答えてください。√同士であれば、中身の数が少ない順に答えなさい。
√→ルート
+→プラス
-→マイナス
(例)3
　　2ルート3
　　3マイナスルート2プラスルート3

問題文

大きい円Oと小さい円O‘が接している。また、直線lにも接している。
円Oと円O’の面積がそれぞれ9π㎠、π㎠である時、次の(ア)〜(エ)に当てはまる数字、もしくは記号を答えなさい。ただし、一つの()内の数字は2桁である場合がある。
(例)ウの中身が2√3-1
「斜線部の面積は$(ア)\sqrt{(イ)}-\frac{(ウ)}{(エ)}$
である」

解答形式

行ごとに採点をするため、(ア)〜(エ)ごとに行を変えて答えなさい。
例↓
3
5
√17
3
など

特殊な記号は以下のものをコピペしてください。
+
-
×
÷
π
√

問題文

この時、色の塗られた部分の面積は(ア)√(イ)である

解答形式

(ア)+(イ)を答えてください。数字のみで答えなさい。分数になった場合は分母+分子を答えなさい。

(例)

(ア)=6、(イ)=6の場合
12と答えればOK

(ア)=4、(イ)=3/2の場合
(ア)+(イ)=11/2なので、
11+2=13より、
13と答えればOK

問題文

長方形ABCDがあり、AB＝X cm、AD＝Ycmとする。(X:Y＝1:2)
CB＝CEとなるよう、AD上に点Eをとる。
点Pは頂点Bから頂点Cまで動く。
CEとPDの交点をSとする。
このとき、三角形CBE相似三角形EPSになるような場所に点Pがあるとき、次の(ア)〜(ウ)にはいる数字を答えなさい。

BP:PC＝(ア):√(イ)+(ウ)

解答形式

ア、イ、ウの順に、間に点を入れながら答えてください。1行で答えること。
(例)
1、2、3

問題文

印がついている辺は長さが等しく、平行マークがついている辺は平行である。
この時、角xと角yの値を求めなさい。

解答形式

行ごとにジャッジするため、1行目に角xの値を入力し、2行目に角yの値を入力してください。
角x=や°は入りません。数値のみを答えてください。

問題文

二等辺三角形ABCがあり、AB＝AC＝xcmである。また、頂角は150°である。下の式が二等辺三角形ABCの面積の値と等しくなった時、xの数値を求めなさい。(・は掛け算の×を表しています)

$$
\frac{x^4-10x^2+9}{(x+1)(x+3)(x-3)} + \sqrt{25+4\sqrt{6}} \cdot \sqrt{25-4\sqrt{6}} + \frac{(x+2)^3-(x-2)^3}{12x} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{1}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} + 19
$$

解答形式

x＝は必要ありません。数値のみを記入してください
(例) 810