TMC002(B)

点 $O$ を中心とする単位円に内接する正六角形 $ABCDEF$ について $,$ 線分 $AF$ の中点を $M$ とします. 直線 $CM$ と直線 $AD$ の交点を $P,$ 直線 $CM$ と直線 $BE$ の交点を $Q$ とします.三角形 $OPQ$ の面積の値は$\dfrac{1}{\sqrt{a}}$と表せるので$,$ $a$ の値を回答してください$.$

東君はスーパーに鉛筆を買いに来ました.鉛筆の税抜価格は $109$ 円です.しかし東君が財布の中身を見てみるとなんと $10$ 円玉しか入っていませんでした.東君はこう考えました.

「鉛筆は少なくとも一つ買いたいけど、お釣りだけは絶対にもらいたくない」

この時東君は最低で何個の鉛筆を買わなければいけませんか.ただし会計の時に支払う合計金額は税抜価格の総和の $1.1$ 倍の整数部分で定義され$,$東君は十分な枚数の $10$ 円玉を持っているものとします.

問題文

$X$($0<X<2025$)個の玉から$Y$($0<Y<2025$)個を同時に取り出す操作を考える．
この操作が成り立つ$X,Y$について，玉の取り出し方の総和を求めなさい．

但しボールは互いに区別できるものとする．

解答形式

答えは$a^b+c(a,b,c∈ℤ)$通りと書けます．$a,b,c$として様々なものがありますが，
$a+b+c=Z(Z∈ℤ ,Z>0)$について$MIN(Z)$の値を求めて下さい．

追記：8/6日問題文の訂正を行いました．もし，もとの問題文のせいでミスしたという方がいましたら，大変申し訳ありません．

$3$ 点 $A,B,C$ はこの順で一直線に並んでおり，$AC,AB,BC$ を直径とする円をそれぞれ $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ とし，点 $B$ を通る直線と $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ の交点を，$P,Q,B,R,S$ の順に並ぶように定めると，
$$AB<BC,\quad AB=\sqrt{390},\quad QB=18,\quad BR=24$$
が成り立ちました．このとき，互いに素な正整数 $m,n$ を用いて $PB:BS=m:n$ と表されるので，$m+n$ の値を解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ があり, 辺 $BC$ の中点を $M$ とします. $B$ から直線 $AM$ に下した垂線の足を $X$ とすると,$A,X,M$ はこの順にあり
$$AX=9　　XM=2　　\angle{BAM}=\angle{XCB}$$
が成立しました. $AC^2$ を求めてください.

解答形式

答えは正の整数値になるので,半角で解答してください

問題文

三角形 $ABC$ について，線分 $BC,CA$ の中点を $M,N$ とし，三角形 $AMN$ の外接円と三角形 $ABC$ の外接円，半直線 $AB$ がそれぞれ $A$ でない点で交わったのでそれぞれを $D, E$ とする．$MD=5, AB=34, BE=7$ が成り立つとき，線分 $BC$ の長さの二乗を解答せよ．

問題文

正整数からなる有限集合 $V$ に対し，その要素数を $f(V)$ ，要素の総和を $g(V)$ とします．相異なる正整数からなる有限集合 $S$ であって，次を満たすものを良い集合とします．

• $S$ の任意の部分集合 $T$ について，命題「 $f(T)$ が奇数ならば $g(T)$ は素数である」は真である．

$f(S)$ が最大となるような良い集合 $S$ のうち，$g(S)$ が最小となるようなものは一意に定まるので，その要素の総積を解答してください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$$x^4-xy^3+y^2=11,　x^3y-y^4+x^2=13$$ を満たす複素数の組 $(x,y)$ について，$\dfrac{y}{x}$ としてありうる値の総和は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．

問題文

正六角形 $ABCDEF$ の内部に，正六角形 $GHIJKL$ があります．また，平行な $2$ 直線 $WX,YZ$ の距離を $f(WX,YZ)$ とします．このとき，これらは以下をすべて満たしました．

• $AB\parallel GH,BC\parallel HI$
• $f(AB,GH)\lt f(AB,KJ)$
• $f(AB,GH)+f(BC,HI)+f(CD,IJ)+f(DE,JK)+f(EF,KL)+f(FA,LG)=8$

このとき，$2$ つの正六角形の一辺の長さの差の $2$ 乗を求めてください．

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\log_{e^{n}}\,{}_{2n}\mathrm{C}_{n}$$を求めてください。

解答形式

半角で数字のみ入力してください。
・答えが分数になる場合は分母と分子の和を答えてください。
(例: $\dfrac{1}{2}$ → $3$を入力する )
・答えに$\pi$を含む場合は$\pi=3$として答えてください。
(例: $2\pi$ → $6$を入力する，$\dfrac{\pi}{2}$ → $5$を入力する )
・答えに$\log$を含む場合は$a\log b$となる場合も$\log b^a$として真数のみ答えてください。
(例: $2\log 2$ → $4$を入力する )
・上記の例に当てはまらない場合は$0$と入力してください。($0$に収束する場合も$0$と入力します)

問題文

$AB\lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において，角 $A$ の二等分線と直線 $BC$ の交点を $D$ ，線分 $BC$ の垂直二等分線と直線 $AC$ の交点を $E$ とします．このとき，三角形 $CDE$ の周長は $20$ であり，さらに

$$AD=DC，AE=6$$

が成立しました．線分 $AB$ の長さを求めてください．

解答形式

答えは正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{a}-b$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ の内部に点 $D$ をとると $DB＝DC,AC＝AD, \angle DBC=19^{\circ}, \angle ABD=30^{\circ} $ が成立したので $\angle BAC$ の大きさを度数法で解答せよ．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
Writer: pomodor_ap