気づけば一瞬だと思います

問題文

角xの大きさを求めなさい

上の図は4×4マスの正方形とそれに内接する円でできている。縦の線を左からA、B、C、D、Eとし、横の線を上からF、G、H、I、Gとする。
点は交点を表している。
追記:縦線Bと横線Iとの交点にも点がありましたが、つけ忘れてしまいました。

解答形式

角度を表す「°」は入りません。数字のみを答えればOKです。

問題文

三角形 $ABC$ があり，その内接円と線分 $BC,CA,AB$ との接点をそれぞれ $D,E,F$ とする．$B$ について $F$ を対称移動した点を $X$ とし，$C$ について $E$ を対称移動した点を $Y$ とし，三角形 $AXY$ における $A$ を含まない弧 $XY$ の中点を $M$ とすると，以下が成立しました．
$$AX=20,\quad AY=24,\quad DM=19$$
このとき線分 $XY$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$と表されるので $a+b$ を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

$AB=11, AC=18$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，線分 $AD$ が外接円の直径をなすような点 $D$ を取り，線分 $BC$ の中点を $M$，$D$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $E$ とする．三角形 $AME$ の外接円が線分 $AB$ に接するとき，線分 $BC$ の長さの二乗を解答せよ．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，その垂心を $H$ とし，外接円を $Ω$ とする．直線 $CH$ と $AB$ の交点を $D$ とし，直線 $AH$ と $Ω$ の交点のうち $A$ でない方を $P$ ，直線 $BH$ と $Ω$ の交点のうち $B$ でない方を $Q$ とする．直線 $CH$ と $PQ$ の交点を $R$ とすると，以下が成立しました．
$$DH=3,\quad HR=4,\quad AD=5$$
このとき線分 $BC$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB < AC$ なる三角形 $ABC$ の辺 $AC$ 上に $AB = CP$ なる点 $P$ をとり，$2$ 点 $A , P$ を通り，直線 $BP$ に接するような円を $\omega$ とする．いま，三角形 $ABC$ の外接円と $\omega$ は $A$ でない点で交わったので，その点を $X$ とすると，直線 $AB$ は $\omega$ に接し，さらに次が成立した． $$BC = 12 ,　PX = 5$$ このとき，線分 $BP$ の長さの $2$ 乗を解答せよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ があり，その内心を $I$ とし，直線 $BI$ と線分 $AC$ の交点を $D$ とすると，以下が成立しました．
$$AB=8,\quad AC=10,\quad AD=AI$$
このとき三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

三角形 $ABC$ があり，辺 $AB$ の中点を $M$ とし，$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とする．直線 $AD$ と $CM$ の交点を $P$ とし，直線 $BP$ と $AC$ の交点を $E$ とすると，以下が成立しました．$$AB=21,\quad CD=12,\quad CE=16$$
このとき線分 $AD$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB<AC$ を満たす，$ \angle BAC$ が鈍角の三角形 $ABC$ があり，$A$ から線分 $BC$ におろした垂線の足を $D$ とする．$4$ 点 $BEDC$ がこの順に同一直線上に並ぶように点 $E$ をとると，三角形 $ACE$ の外接円は直線 $AB$ に点 $A$ で接し，点 $E$ から線分 $AB$ におろした垂線の足を $H$ とすると，
$$BH=2,\quad AH=4,\quad AC=9$$
が成立しました．このとき線分 $AD$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

${x}$ に関する ${2026}$ 次方程式

$${x^{2026}+2025x-2024=0}$$

の重複を含めた ${2026}$ 個の複素数解を ${α_1,α_2,...,α_{2026}}$ とします．以下の値を求めてください．

$${\sum_{k=1}^{2026}α_k^{2026}}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $10$ 次方程式
$${x^{10}+2x^9+4x^2+3x-2026=0}$$ の重複を含めた $10$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{10}$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{10}\frac{1}{\alpha_k}}$$

解答形式

求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

問題文

${x}$ に関する ${100}$ 次方程式
$${x^{100}+27x^{99}+9x^{98}+243=0}$$ の重複を含めた ${100}$ 個の複素数解を ${α_1, α_2, ...,α_{100}}$ とします．以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{100}α_k^2$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

${x}$ に関する ${2025}$ 次方程式

$${2026x^{2025}-2025x^{2024}-2x+1=0}$$

の重複を含めた ${2025}$ 個の複素数解を ${α_1, α_2, ...,α_{2025}}$ とします．以下の値を求めてください．

$$\sum_{k=1}^{2025}α_k$$

解答形式

求める値は互いに素な正の整数 ${a,b}$ を用いて ${\frac{a}{b}}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．