暗算素因数分解E

問題文

$1526382615$ を暗算で素因数分解してください．

解答形式

素因数を小さい方から半角の空白で区切って半角数字で入力して下さい．
例) $12\rightarrow$ 2 2 3

問題文

$243405270090015001$ を暗算で素因数分解してください．

解答形式

素因数を小さい方から半角の空白で区切って半角数字で入力して下さい．
例) $12\rightarrow$ 2 2 3

問題文

$318750001$ を暗算で素因数分解してください．

解答形式

素因数を小さい方から半角の空白で区切って半角数字で入力して下さい．
例) $12\rightarrow$ 2 2 3

問題文

$6250004$ を暗算で素因数分解してください．

解答形式

素因数を小さい方から半角の空白で区切って半角数字で入力して下さい．
例) $12\rightarrow$ 2 2 3

問題文

$100010001$ を暗算で素因数分解してください．

解答形式

素因数を小さい方から半角の空白で区切って半角数字で入力して下さい．
例) $12\rightarrow$ 2 2 3

問題文

$10201$ を暗算で素因数分解してください．

解答形式

素因数を小さい方から半角の空白で区切って半角数字で入力して下さい．
例) $12\rightarrow$ 2 2 3

問題文

$P=122333444455555666666777777788888888999999999 $とする。
$P$を素因数分解せよ。

解答形式

$P$の素因数の総積を半角数字で入力してください。
ただし、この問題は難しい計算をする必要がないことが保証されます。

問題文

x,y,zを自然数とする。
xy+xz = x+y+z となるような(x,y,z)の組はいくつあるか。

解答形式

数字のみを記入すること。例：3組ある場合は 3

問題文

△ABCについて、Aから直線BCに下ろした垂足をD、点Bから直線CAに下ろした垂足をE、△ABCの垂心をHとしたとき以下が成立しました。$$AH=3,AE=2,AC=5$$△AHB:△HCDは互いに素な自然数a,bを用いてa:bと表せるのでa+bの値を解答してください。

解答形式

半角数字を入力してください。

問題文

三角形$ABC$において，$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし，垂心を$H$とします.三角形$DEF$の外接円と三角形$HBC$の外接円の交点を$P,Q$とし，$EF$の中点を$M$とします.直線$HM$と直線$PQ$の交点を$R$とすると，$DR$は$AB$の中点を通り，$BC$の中点を$N$とすると，$$ND＝2　CE＝5$$が成立しました.このとき，$AB$の長さの二乗は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表せるので，$a +b$の値を解答して下さい.

解答形式

半角で解答して下さい.

問題文

$30$ 人の人が $\pi$ ナポゥ君の主催するたけのこニョッキ大会に参加します．ルールは次の通りです．

• $i=30,29, \dotsc,1$ の順に $1$ 人 $1$ つの数 $i$ を叫んでいき，最後まで叫ぶことができたら成功である．もし $i$ を複数人が叫んでしまったり，だれも叫ばなかったりした場合は失敗である．

なかなか成功しないことに気づいた $\pi$ ナポゥ君は，次のように八百長をすることにしました．

• はじめに $30$ 人それぞれに正整数を与え，$i=30,29,\dotsc,1$ について以下を繰り返す．
  • まだ叫んでいない人の内，与えられた数が $i$ の約数もしくは倍数である人は，数 $i$ を叫ぶ．

このたけのこニョッキが成功するような，$30$ 人に与えられる正整数の総和の最小値を解答して下さい．

解答形式

半角数字で解答してください．

外接円を$\Omega$, 内心を$I$とする鋭角三角形$ABC$について, 円$Γ$は円$\Omega$に内接し, 辺$AC$, 辺$BC$にも接しています. 円$\Gamma$と円$\Omega$, 辺$AC$との接点をそれぞれ$T, D$とし, 直線$TD$と円$\Omega$の交点を$M(\neq T)$, 直線$AI$との交点を$F$, 直線$TI$と直線$AB$, 円$MDI$の交点をそれぞれ$G$, $K(\neq I)$とします. さらに, 円$MDI$内に点$H$をとったところ, これは円$TAK$上にありました. また, 円$GHK$と直線$MK$の交点を$J(\neq K)$とすると, 直線$GJ$, 直線$AK$, 円$TAD$が一点で交わったのでこれを$L$とします.
$$
FG=FH,　MJ:KJ=1:3,　LJ=30
$$
が成立するとき, 線分$IK$の長さを二乗した値を求めてください.