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問題文
正方形$ABCD$の(辺を含まない)外部に点$P$をとったところ,以下が成り立ちました:
$$
\angle{ABP}=\angle{DBP}
$$
$$
PB=PC
$$
このとき、$\angle{PDA}$の大きさを求めてください.
解答形式
$\angle{PDA}$は度数法で,互いに素な正整数$a$,$b$を用いて$\frac{a}{b}^\circ$と表されるので,$a+b$を半角数字で解答してください.
問題文
正整数 $N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を $v_2 (N)$ で表すことにします.
(例 : $v_2(6) = 1, \ v_2(16) = 4$)
このとき,
$$\sum_{i = 1}^{1024} \sum_{j = 1}^{1024} \sum_{k = 1}^{1024} v_2 ( \textrm {gcd} (i, j, k))$$
の値を解答して下さい. ( $\textrm{gcd}(i,j,k)$ で $i,j,k$ の最大公約数を表しているとします.)
解答形式
半角数字で解答して下さい.
問題文
以下の値を求めてください。
$$
\begin{align}
\sum_{k=1}^{33333^2+200\cdot33333}\sqrt{\frac{2k+19999-2\sqrt{k^2+19999k+99990000}}{k^2+19999k+99990000}}
\end{align}
$$
解答形式
答えは互いに素な正整数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表されるので、
$p+q$の値を解答してください。
制作者の声
(誰かがもう作ってそうです...知っている方がいれば教えてほしいです)
問題文
$f(n)=n ^{15}+21n^{10}+147n^5+343$ とします．
正整数 $n$ に対して， $f(n)$ が $5^m$ で割り切れるような最大の非負整数 $m$ を $g(n)$ と定めます．$10000$ 以下の正整数 $k $であって $g(n)=k $ を満たす正整数 $n$ が存在するような $k$ の総積を $3343$ で割った余りを解答してください．ただし，$3343$ は素数です．
解答形式
非負整数を解答してください．
一部問題文を変更しました。ご迷惑をおかけしてしまい申し訳ございません。
$a,b$を実数の定数とする。$x$についての方程式
$x^{10}+x^8+(1-2b)x^{6}-6x^4-2ax^3+b^2x^2+a^2+9=0$
の実数解を全て求めよ。また、その時の$a,b$の値を求めよ。
解答形式
(x,a,b)=(1,1,1),(2,3,4)...という感じで半角で入力してください。(順不同)
±は使わないでください。
底ができるだけ小さくなるようにしてください。
また、m/n乗はa^(m/n)というふうに解答してください。例:3^(2/3),5^(7/8)など
問題
次の関数 $x,y$ における定数 $c$ の命題「つねに $x\geqq 3$ ならば $y$ の値域幅は $c$ 以上」は真か．$$0\leqq t\leqq 2c,\quad x=|t-c|+|t-3|+|t-5|,\quad y=|||t-1|-2|-3|$$
解答形式
逆，裏，対偶それぞれの整数反例の和を半角数字で入力してください．
問題文
こちらも問題に不備があったため、数値設定を変更いたしました。不備が重なってしまいたいへん申し訳ありません。
正六角形 $ABCDEF$ の線分 $AC, BC, DE$ 上にそれぞれ点 $P, Q, R$ を取ったところ, $PQ \perp BC, PR \perp DE, \angle QAR=60^\circ$ が成立しました. また, 三角形 $APQ$ の外心を $O$, 三角形 $APR$ の外心を $O^\prime$ とし, 三角形 $AOO^\prime$ の外接円と三角形 $APQ$ の外接円の交点を $X( \neq A)$, 三角形$AOO^\prime$ の外接円 と三角形 $APR$ の外接円の交点を $Y( \neq A)$ とすると, $BY=7$ が成立しました. このとき, 線分 $DX$ の長さを求めて下さい.
解答形式
答えは最大公約数が $1$ である正整数 $a,b, c$ によって $\cfrac{\sqrt{b}-c}{a}$ と表されるため, $a+b+c$ の値を半角数字で解答してください.