下式を満たす自然数(a,b,c)の組をすべて求めよ。
$$
2^{a}+3^{b}=5^{c}
$$
出題者も絞り込みがうまくできず難航していますのでできましたら解法もセットでご教授ください。
(a,b,c)の形で答えてください。
整数 $x,y$ と数列 $z_k=|x-k|+|y-k|$ に対し,次の命題は $xy\leqq 7!$ の反例を何組もつか.
半角数字で入力してください.
$a_{1} = 3$ , $a_{n+1} = \frac{a_{n}(a_{n}+1)}{2}$
とする($n$は自然数)。
また、$2$ 以上の自然数を $p$ とし、$a_{n}$を $3^{p}$ で割った時の余りを $R_{n}^{p}$ とする。
このとき、数列 {$R_{n}^{p}$} は
「周期の長さが $2×3^{p-2}$ 」であり、
かつ「 $0$ 以上 $3^{p}$ 未満の $3$ の倍数のうち $9$ の倍数ではない数」
をすべて巡回することを示せ。
論述形式です。途中までの投稿もOKです。$p$ の値が小さければ、試してみると成立していることが分かります。
$a=e^{2AX},c=e^{2CX}$(Xは正の定数,A,Cは実数)とする.
$f(x)=-a\log_e(x+c)+X$とする.$y=f(x)$の$y$切片を点P,
$y=f(x)$と点$(0,X)$で接する接線$l$と$y$軸とが成す角を
$\theta\;(\theta\mbox{は}0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\mbox{を満たす実数})$,$y=f(x)$の$x$切片を点Qとする.
$\tan\dfrac{\theta}{2}$をネイピア数$e$を用いて表せ.
また,点Qの$x$座標が正の無限大に大きくなるとき,$\tan\dfrac{\theta}{2}$の値の極限値を求めよ.
記述式解答を求む.(直感で答えが出る可能性があるので)
$\mathbb{R}^3$上の単位球面
$$
S^2=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\mid x^2+y^2+z^2=1\}
$$に対して,その開部分集合 $U=S^2\setminus \{(x,y,z)\in S^2 \mid x\geq 0, y=0\}$ を考える。また,$\mathbb{R}^2$ の部分集合を
$$
V=\{(\theta, \varphi)\in\mathbb{R}^2\mid -\pi/2 < \theta < \pi/2, \;0<\varphi <2\pi\}
$$とおく。
写像 $f:V\to U, g: V\to \mathbb{R}^2$ を次のように定める。
\begin{align}
f(\theta, \varphi)&=(\cos\theta\cos\varphi, \cos\theta\sin\varphi, \sin\theta)\\
g(\theta, \varphi)&=(\varphi \cos\alpha, \sin\alpha)
\end{align}ただし,$\alpha$ は,関係式
$$
\sin 2\alpha+2\alpha=\pi\sin\theta
$$の唯一の解である。$g$ が単射であることは証明なしに用いてよい。
(1) $(\xi, \eta)=g(\theta, \varphi)$ とし,行列
$$
J(\theta, \varphi)=\begin{pmatrix} \cfrac{\partial\xi(\theta, \varphi)}{\partial \theta} & \cfrac{\partial\eta(\theta, \varphi)}{\partial \theta} \\ \cfrac{\partial\xi(\theta, \varphi)}{\partial \varphi} & \cfrac{\partial\eta(\theta, \varphi)}{\partial \varphi} \end{pmatrix}
$$を考える。このとき
$$
|{\rm det}\,J(\theta, \varphi)|=\fbox{ア}\cos\theta
$$である。
(2) 領域 $g(f^{-1}(U))$ の面積は $\fbox{イ}$ である。
空欄 $\fbox{ア}$, $\fbox{イ}$ には正の実数が当てはまる。これを $10$ 進小数に表し,小数第 $4$ 位以降を切り捨てたものを改行区切りで半角数字 0-9
およびピリオド .
を用いて入力しなさい。例えば,$1.2345\cdots$ を当てはめるなら 1.234
と解答すること。