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問題文

2つのパラメーター(0,0)
がある
一回の操作でどちらかの数字を1増やすか減らすかする
それぞれ1/4の確率で起こる
この時操作をした回数が2n(nは自然数)の時パラメーターが(0,0)になる確率はnが大きければ大きいほど低くなることを証明せよ

解答形式

証明形式

問題文

正の整数$a, b$ $(a<b)$ が与えられます。 $k$の正の約数の総和を$S_k$とするとき, $S_a+S_{a+1}+S_{a+2}+…+S_{b}$の値を求めてください。

解答形式

$(a,b)=(1,10^7), (a,b)=(3141592,6535897)$のときの答えを $\bf{100}$で割った余り をそれぞれ1行目, 2行目に半角数字で入力してください。

例

1. $(a,b)=(3,5)$
   3の正の約数は1,3なので, $S_3=1+3=4$
   4の正の約数は1,2,4なので, $S_4=1+2+4=7$
   5の正の約数は1,5なので, $S_5=1+5=6$
   よって, $S_3+S_4+S_5=4+7+6=17$ です。
   解答は, $17$を$100$で割った余りなので, $17$になります。

2. $(a,b)=(100,999)$
   解答は$59$です。

問題文

問題文を入力してください
あ

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

あ

問題文

定積分

$$
\int_0^1 (\sqrt[7]{1-x^{11}}-\sqrt[11]{1-x^{7}})dx
$$

を求めよ。

解答形式

値は半角数字で記述せよ。無理数などを用いたい場合は必要ならばTeX記法により記述せよ。

問題文

同じ色の線分は同じ長さです。
∠Ｘの大きさを求めてください。
青と黄、赤と黄緑の線分が重なって一部見づらくなっています。m(__)m

解答形式

度数法で、0~360の数字を半角で入力してください。
例:∠Ｘ＝30°　→　30
「度」や"°"をつけずに回答してください。

問題文

$a=e^{2AX},c=e^{2CX}$(Xは正の定数，A，Cは実数)とする．
$f(x)=-a\log_e(x+c)+X$とする．$y=f(x)$の$y$切片を点P，
$y=f(x)$と点$(0,X)$で接する接線$l$と$y$軸とが成す角を
$\theta\;(\theta\mbox{は}0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\mbox{を満たす実数})$，$y=f(x)$の$x$切片を点Qとする．
$\tan\dfrac{\theta}{2}$をネイピア数$e$を用いて表せ．
また，点Qの$x$座標が正の無限大に大きくなるとき，$\tan\dfrac{\theta}{2}$の値の極限値を求めよ．

解答形式

記述式解答を求む．(直感で答えが出る可能性があるので)

問題文

相異なる正の整数$a, b,c, d,k$が
$$a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = k$$
を満たすものとします。$k$の最小値を求めてください。

解答形式

半角数字で回答してください。

備考

• 6/10 14:26 問題文を「非負整数」→「正の整数」に修正しました。

問題文

ΟΟΟΟΟ
OOOΟO
OOΟOO
OΟOOO
ΟΟΟΟΟ
OOOOO
ΟΟΟΟΟ
ΟOOOO
ΟΟΟΟΟ
ΟOOOO
ΟΟΟΟΟ
OOOOO
ΟΟΟΟO
ΟOOOΟ
ΟΟΟΟO
ΟOOΟO
ΟOOOΟ
OOOOO
OΟΟΟO
ΟOOOΟ
ΟOOOΟ
ΟOOOΟ
OΟΟΟO

解答形式

半角で回答してください。

問題文

$n$を2以上の整数とし, $f(x)=\sqrt[n]{x^n+nx^{n-1}} (x\geq0)$を考える。

$(1)$ $x$を正の整数とするとき, $f(x)$の値が整数でないことを示せ。

$(2)$ $y=f(x)$, $x$軸, $x=m-1$ ($m$は正の整数) で囲まれた領域内(境界線上も含む)の格子点の数を求めよ。

解答形式

$(2)$ で $m=100$ のときの答えを半角数字で入力してください。

問題文

以下にグルジア語（ジョージア語）の数詞で書かれた等式がある。

• tekvsmeṭi - ati = ekvsi
• ati + ori = sami × ori × ori = ekvsi + ekvsi
• ati × rva = otxmoci
• ori ^ xuti = totxmeṭi + tvrameṭi = ormoci - rva
• otxmocdaori - erti = sami ^ otxi
• ekvsi × erti = ekvsi
• cameṭi × švidi = otxmocdatertmeṭi
• sami + švidi + ocdarva = ocdatvrameṭi
• otxi × oci = otxmoci
• tormeṭi ^ 2 + ocdatxutmeṭi ^ 2 = ocdačvidmeṭi ^ 2

⑴ 次の数をグルジア語で表しなさい。
$$
5, 17, 22, 36, 93
$$

⑵ ormocdaati を数字で書きなさい。

注意

問題文に現れるすべての数詞は $1$ 以上 $100$ 以下である。また，a ^ b は $a^b$ を意味する。ṭ, š, č, c はそれぞれ音素 /t'/, /ʃ/, /tʃ/, /ts/ をもつ子音である。

解答形式

改行区切りで

five
seventeen
twenty two
thirty six
ninety three
334

のように入力してください。特殊文字 ṭ, š, č はここからコピーして貼り付けてください。スペルミスに注意しましょう。

問題

自然数の組に対する二項演算 $\small \bigcirc$ および $ \triangle$ は以下の条件を満たすとする。

$$
\newcommand{\o}{\ \small\bigcirc \ \normalsize }
\newcommand{\tr}{\ \triangle \ }
a\tr b=\underbrace{(a\o (a\o (\cdots \o(a\o a))))}_{a\ が\ b\ 個}
$$

二項演算 $\tr$ が可換性

$$
a\tr b=b\tr a
$$

を満たすとき、次の問に答えよ

(1)　 $1\o 1=2$ を示せ。

(2)　 演算$\o$が結合法則

$$
a\o(b\o c)=(a\o b)\o c
$$

を満たすとき $2020\tr 2019$ の値を求めよ。

解答形式

(2)の値を半角数字で記述せよ。

問題文

中心$O$, 直径$AB$とする円の$A,B$以外の円周上の点$C$を取り, $\angle BAC=\theta \ (0^\circ<\theta <90^\circ)$ とする。
このとき, 線分$OD$が線分$AC$によって二等分されるような点$D$が円周上に取れるような$\theta$の取りうる範囲を求めよ。

解答形式

求める$\theta$の範囲は$a^\circ<\theta\leq b^\circ$となります。1行目に$a$, 2行目に$b$を半角数字で入力してください。