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問題文

$1$ 以上 $20^{24}$ 以下の整数 $N$ であって、次の条件を満たすものはいくつあるか。

条件: 何度でも微分可能な実数値関数 $f$ であって、ある実数 $x$ に対して $f(x)\ne0$ であり、さらに任意の実数 $x$ に対して $$\frac{f(x)}{N}=f\left(\frac{x-1}{2}\right)+f\left(\frac{x+1}{2}\right)$$ を満たすようなものが存在する。

解答形式

条件を満たす $N$ の個数を、半角数字で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

問題文

実数に対して定義され実数値をとる関数$f$であって、任意の実数$x,y$に対して$$f(f(x)+y)=2f^{[|y|]}(x)+f^{[|x|]}(y)$$を満たすものを全て求めてください。ただし、$f^{s}(t)$は$$f^{s}(t)=f(f(f(…f(t)))…),f^0(x)=0$$($f$が$s$個)、$[α]$は$α$以下の最大の整数とします。

＊解答だけで構いません。

問題文

実数に対して定義され実数値をとる関数 $f$ であって，任意の実数 $x,y$ に対して

$$f(x)f(y)=f(yf(x)+1)-2x$$

を満たすものが存在します．このような $f$ について，$f(3939)$ の値としてありうるものの総和を求めてください．

解答形式

答えは非負整数になるので，半角数字で解答してください。

問題文

実数全体に対して定義され実数値をとる関数 $f$ であって，任意の実数 $x , y$ に対して

$$f \left( y f \left(x \right) - f \left(y \right) \right) = f \left( x f \left(y \right) +1 \right) -x$$

を満たすものをすべて求めよ．

問題文

関数 $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ が $f(f(x) + y) = x + f(y)$ を (任意の整数の組 $(x, y)$ に対して) 満たすとき, $f(2024)$ の取りうる値の総和を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

問題文

正の実数に対して定義され正の実数値をとる関数 $f$ が、任意の正の実数 $x,y$ に対して

$$
f\left(\frac{x+y+1}{xy}\right)=\frac{f(x)f(y)}{x+y+1}
$$

を満たすとき

$$
f\left(\frac{11}{21}\right) = \frac{\fbox{アイウエ}}{\fbox{オカキ}}
$$

である。

解答形式

ア〜キには、0から9までの数字が入る。
文字列「アイウエオカキ」を半角で1行目に入力せよ。
ただし、それ以上約分できない形で答えよ。

問題文

$f:{\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R}$ は微分可能で、任意の $x,y \in {\mathbb R}$ に対して

$$
f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy+1)
$$

を満たすとする。以下の空欄を埋めよ。

⑴ $f(0)=\fbox{アイ}$ または $f(0)=\fbox{ウ}$ が成り立つ。また、$f(0)=\fbox{アイ}$ のとき $f(1)=\fbox{エ}$ で、このとき $x \in {\mathbb R}$ を固定するごとに極限

$$
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
$$

を考えるとロピタルの定理の仮定をすべて満たしていることがわかる。よって同定理を用いて $f$ が満たす微分方程式を導くことができる。

⑵ $f$ が満たす微分方程式を解くことで、$f$ をすべて決定できる。特に $f(23)$ がとり得る値は $\fbox{オ}$ 通りあり、それらの値の総和は $\fbox{カキク}$ である。

解答形式

ア〜クには、0から9までの数字または「-」(マイナス)が入る。
⑴の答えとして、文字列「アイウエ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
⑵の答えとして、文字列「オカキク」をすべて半角で2行目に入力せよ。