利用規約更新のお知らせ (2024年2月7日1:16)
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全問題一覧

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natsuneko

公開日時: 2024年2月21日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

初等幾何

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について, 線分 $BC$ 上に点 $D$ を取り, 三角形 $ABD$ の垂心を $H_1$, 三角形 $ADC$ の垂心を $H_2$ とします. すると, $BD = DC = H_1 H_2 = 10$, $H_1 D : H_2 D = 2 : \sqrt{10}$ が成立しました. このとき, 三角形 $ABC$ の面積としてあり得る値の総積を解答してください.

解答形式

答えは正整数になるため, その値を半角数字で解答してください.

natsuneko

公開日時: 2024年2月21日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

初等幾何

問題文

三角形 $ABC$ の線分 $AB$ 上に点 $D$, 線分 $DC$ 上に点 $E$, 線分 $AC$ 上に点 $F$ を取ったところ, 以下が成立しました.
・ $\angle AED = \angle ABE = \angle EFC = 60^\circ$
・ $\angle EAC = 19^\circ$
・$DF = CF$
このとき, $\angle EBC$ の大きさは, 度数法で $N^\circ$ と表されるため, $N$ を解答してください.

解答形式

答えは正整数になるため, その値を半角数字で解答してください.

natsuneko

公開日時: 2024年2月21日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ

初等幾何

問題文

問題の数値設定に不備があったため、数値設定を変更します。申し訳ありません。(三角形 $DEH$ の面積を $9$ から $3$ に変更しました。)

鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$, 外心を $O$ とします. また, 直線 $BH$ と線分 $AC$ の交点を $D$, 直線 $CH$ と線分 $AB$ の交点を $E$ とします. そして, 線分 $DE$ の中点を $N$, 直線 $HN$ と直線 $AO$ の交点を $X$ とします. このとき, $A, X, O$ はこの順に並び, $AX = 3, XO = 5$ が成立しました. また, 三角形 $DEH$ の面積が $3$ であったとき, 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

解答形式

答えは, 正整数 $a, b$ を用いて $\sqrt{a} + b$ と表されるので, $a+b$ の値を半角数字で解答してください.

natsuneko

公開日時: 2024年2月21日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

初等幾何

問題文

こちらも問題に不備があったため、数値設定を変更いたしました。不備が重なってしまいたいへん申し訳ありません。

正六角形 $ABCDEF$ の線分 $AC, BC, DE$ 上にそれぞれ点 $P, Q, R$ を取ったところ, $PQ \perp BC, PR \perp DE, \angle QAR=60^\circ$ が成立しました. また, 三角形 $APQ$ の外心を $O$, 三角形 $APR$ の外心を $O^\prime$ とし, 三角形 $AOO^\prime$ の外接円と三角形 $APQ$ の外接円の交点を $X( \neq A)$, 三角形$AOO^\prime$ の外接円 と三角形 $APR$ の外接円の交点を $Y( \neq A)$ とすると, $BY=7$ が成立しました. このとき, 線分 $DX$ の長さを求めて下さい.

解答形式

答えは最大公約数が $1$ である正整数 $a,b, c$ によって $\cfrac{\sqrt{b}-c}{a}$ と表されるため, $a+b+c$ の値を半角数字で解答してください.

tb_lb

公開日時: 2024年2月18日22:04 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 中学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

初等幾何 長さ

【補助線主体の図形問題 #126】
 今週の図形問題です。隙あらば暗算で処理できる程度の問題を好んで出題しているのですが、今回は暗算処理は厳しいかもしれません。紙&ペンをご用意の上、挑戦していただければと思います。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

tb_lb

公開日時: 2024年2月11日22:07 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 中学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

初等幾何 長さ

${}$ ご無沙汰しています。久しぶりの出題となりました。今回は補助線力が試せる1題となっています。補助線と共に試行錯誤をお楽しみください。腕に覚えのある方は暗算で処理し切るのも面白いですよ!

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

tb_lb

公開日時: 2024年1月14日21:51 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 中学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

初等幾何 長さ

【補助線主体の図形問題 #124】
 年始は西暦を織り込んだ数学・パズルの問題をお送りしてきましたが、また日曜夜通例の「補助線主体の図形問題」に戻ります。変わらぬご愛顧ををどうかよろしくお願いします。
 今回は、補助線を使えば計算量減を図れ、補助線を使わないと面倒な計算を強いられるという問題を用意しました。補助線解法を期待しているのですが、力技で解くのもアリです。お好きなようにお楽しみください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

miq

公開日時: 2024年1月8日23:27 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

初等幾何

問題文

$AB=5,AC=9$ なる三角形 $ABC$ があり,その外接円を $\Gamma$ とします.辺 $BC$ の中点を $D$ とすると,$B$ における $\Gamma$ の接線と半直線 $DA$ が点 $E$ で交わりました.また,辺 $AC$ 上の点 $F$ が $\angle CDF=\angle BEA$ をみたしています.$DF=\dfrac{10}{3}$ のとき,線分 $AE$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ の値を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください。

shoko_math

公開日時: 2024年1月1日19:28 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

初等幾何 競技数学

問題文

鋭角三角形 $ABC$ に対し,重心と垂心をそれぞれ $G,H$ とし,直線 $GH$ と辺 $AB,AC$ との交点をそれぞれ $D,E$ とし,直線 $AH$ と辺 $BC$ の交点を $F$ としたところ,$DH:HG=4:3,BF:FC=3:7$ となりました.
${AD}^2:{AE}^2$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されるので,$a+b$ の値を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

shoko_math

公開日時: 2024年1月1日19:27 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

初等幾何 競技数学

問題文

三角形 $ABC$ において,$A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足を $D,E,F$ とし,三角形 $ABC$ の垂心を $H$ としたところ,$DE=9,DF=8,DH=7$ となりました.
このとき,$AH$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので,$a+b$ の値を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

shoko_math

公開日時: 2024年1月1日19:27 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

初等幾何 競技数学

問題文

へこみのない四角形 $ABCD$ の外側に正方形 $ABFE,BCHG,CDJI,DALK$ を描いたところ,$\triangle ALE=16,\triangle BFG=9,\triangle CHI=36$ となりました.このとき,$\triangle DJK$ の面積を求めて下さい.

解答形式

半角数字で解答してください.

shoko_math

公開日時: 2024年1月1日19:27 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

初等幾何 競技数学

問題文

円に内接する $8$ 角形 $ABCDEFGH$ が $\angle{A}=121^{\circ},\angle{B}=122^{\circ},\angle{C}=123^{\circ},\angle{D}=124^{\circ},\angle{E}=125^{\circ},\angle{F}=126^{\circ}$ を満たすとき,$\angle{G}$ の大きさを度数法で解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.