数学の問題一覧
鋭角三角形 $ABC$ （$AB \neq AC$） の外接円を $\Gamma$ とする。
点 $A$ における $\Gamma$ の接線と、直線 $BC$ の交点を $P$ とし、$P$ から $\Gamma$ に引いた点 $A$ とは異なる接線の接点を $D$ とする。
線分 $AD$ の中点を $M$ とする。
直線 $BM$ と $\Gamma$ の交点のうち $B$ と異なるものを $E$ とし、直線 $CM$ と $\Gamma$ の交点のうち $C$ と異なるものを $F$ とする。
このとき、$3$ 点 $P, E, F$ は同一直線上にあることを証明せよ。
問題文
$3$ つの区別できる立方体があります。躑躅色$,$ 熨斗目花色$,$ 鶸色 の絵の具を用意し$,$ $18$ 面のうち無作為に選んだ $6$ 面を躑躅色に$,$ 別の $6$ 面を熨斗目花色に$,$ 残りの $6$ 面を鶸色に塗ります。ただし$,$ どの塗り方も等確率で起こるものとします。
色が塗られた後の $3$ つの立方体を同時に投げたとき$,$ 出た $3$ つの面の色を記録した後$,$ $3$ つの立方体をそれぞれ $1$ 回目に出た面とは異なる面が無作為に上面となるように$,$ 同時にもう一度投げるとき$,$ $1$ 回目に出た $3$ つの面がすべて異なる色であり$,$ かつ $2$ 回目に出た $3$ つの面もすべて異なる色となる確率を求めてください。
解答形式
答えは分数になるので(既約分数)$,$ 分母と分子の和を半角数字で入力してください。
鋭角三角形 $ABC$ において、各辺の長さは $AB = 15, BC = 14, CA = 13$ である。
点 $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とし、線分 $AD$ を直径とする円をかく。
直線 $AB, AC$ と円の $A$ と異なる交点をそれぞれ $E, F$ とし、直線 $EF$ と直線 $BC$ の交点を $P$ とする。
点 $P$ から円に引いた 2 本の接線の接点を $T_1, T_2$ とするとき、線分 $T_1T_2$ の長さを求めよ。
解答形式
答えは$$\frac{a}{b}$$と表せるので${a+b}$を答えよ。
円に内接する四角形 $ABCD$ があり、$AB = BC$ を満たしている。
対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $E$ とすると、$BE = 4, ED = 5$ であった。
四角形 $ABCD$ の周の長さが $26$ であるとき、線分 $AD$ と $CD$ の長さのうち、大きい方の値を求めよ。
問題文
$AB=7, BC=8, CA=9$ である鋭角三角形 $ABC$ において$,$ 各頂点において中線が隣り合う一方の辺となす角と$,$ 等しい角度をもう一方の辺との間になすような直線をそれぞれ引きます。これら3本の直線の交点を $K$ とし$,$ 点 $K$ を中心として点 $A$ を通る円を $\Gamma$ とします。また$,$ 円 $\Gamma$ と直線 $BC$ の交点のうち$,$ 点 $B$ に近い方を $X$$,$ 点 $C$ に近い方を $Y$ とします。さらに$,$ 三角形 $AKX$ の外接円を $\omega_1$$,$ 三角形 $AKY$ の外接円を $\omega_2$ とし$,$ $\omega_1$ と $\omega_2$ の $A$ 以外の交点を $M$ とします。直線 $AM$ と直線 $BC$ の交点を $H$ とするとき$,$ 線分 $KH$ の長さは互いに素な正の整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}$ と表せるので$,$ $p+q$ の値を求めてください。
解答形式
半角数字で入力してください。
三角形 $ABC$ において、頂点 $A$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とすると、点 $D$ は線分 $BC$ 上にあった。
直角三角形 $ABD$ の内接円の半径を $r_1$、直角三角形 $ACD$ の内接円の半径を $r_2$、三角形 $ABC$ の内接円の半径を $r$ とする。
$r_1 = 4, r_2 = 6, r = 7$ であるとき、線分 $AD$ の長さを求めよ。
問題文
$m$ を整数とする．$x$ の $100$ 次方程式
$$\sum_{i=0}^{100}3^ix^{100-i}=m+\sum_{j=0}^{99}(2j+1)x^{99-j}$$ は重複を含めて $100$ 個の複素数解を持つので，その $n$ 乗和を $S_{m,n}$ とする．
$n$ が正の整数のとき $S_{m,n}$ は整数になるので，$S_{m,n}$ を $5$ で割った余りを $T_{m,n}$ をとする．以下の値を求めよ．
$$\sum_{m=0}^{1000}\sum_{n=1}^{100}T_{m,n}$$
解答形式
整数で解答してください．
数列 ${a_n}$ を、初項 $a_1 = 2$、漸化式
$
a_{n+1} = a_n^2 - a_n + 1 \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)
$
によって定める。このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$p$ を $5$ 以上の素数とし、$k$ を整数とする。
合同式
$
x^2 + x + 1 \equiv 0 \pmod p
$
が整数解 $x = k$ を持つとき、$p \equiv 1 \pmod 3$ となることを証明せよ。
(2)任意の自然数 $n$ に対して、$a_n$ を割り切る素因数 $q$ は、$q = 2$、$q = 3$、または $q \equiv 1 \pmod 6$ のいずれかであることを示せ。
さらに、これを用いて「$p \equiv 1 \pmod 6$ を満たす素数 $p$ は無限に存在する」ことを証明せよ。
問題文
$ $ $U$ を $1$ 以上 $6$ 以下の整数全体の集合とします．$U$ から $U$ への写像 $f$ であって以下の条件をみたすものは全部でいくつありますか？
- 任意の $x \in U$ に対し $f^{61}(x) = f(x)$ が成り立つ．
ただし，$k$ を正整数としたとき $f^k$ は $f$ の $k$ 回合成を表します．すなわち，$x \in U$ として $f^k$ は次のように表される $U$ から $U$ への写像です．
$$f^k(x) = \underbrace{f(f( \cdots f(}_{k個}x) \cdots ))$$
解答形式
答えは非負整数値であることが保証されます．半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．