数学の問題一覧
問題文
鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ $,$ $A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とし $,BC$ の中点を $M$ とする$.$ 直線 $AM$ 上に $\angle APH=90 ^。$ となる点 $P$ をとり$,$ 直線 $DE$ と直線 $FP$ の交点を $Q$ とする $.$
また $,$ 三角形 $AHC$ の外接円と三角形 $ABM$ の外接円との交点を$R$ $,$ 三角形$AHC$の外接円と線分 $DE$ の交点を$S$ とする $.$
$$AM:AS=\sqrt{3}:\sqrt{2} AQ=11 QR=7$$
が成り立つとき, $BC$ の長さを求めよ.
解答形式
$BC^2$ は正の整数値になるので,その値を半角で解答してください.
問題文
三角形 $ABC$ があり, 辺 $BC$ の中点を $M$ とします. $B$ から直線 $AM$ に下した垂線の足を $X$ とすると,$A,X,M$ はこの順にあり
$$AX=9 XM=2 \angle{BAM}=\angle{XCB}$$
が成立しました. $AC^2$ を求めてください.
解答形式
答えは正の整数値になるので,半角で解答してください
問題文
関数
$$
y = x \log(1 + x)\quad (x \ge 0)
$$
の逆関数を
$$
y = f(x)\quad (x \ge 0)
$$
とする．
また，関数 $g(x)$を
$$
\begin{aligned}
g(x+1) &= g(x), \\
\int_{0}^{1} g(x)\,dx &= 1
\end{aligned}
$$
を満たす連続関数とする．
正の整数 $n$ に対して，次の極限値を求めよ．
$$
\lim_{n \to \infty}
\int_{0}^{e-1} f(x)\,g(nx)\,dx
$$
解答形式
例）ひらがなで入力してください。
${}$ 西暦2026年問題第10弾です。今年の最終回を迎えました。最終回はどこから手を付けていいのか迷ういそうな問題を用意しています。とはいえ、タネに気づけばサクッと解けるように仕込んであります。じっくりと腰を据えてお楽しみください。
解答形式
${}$ 解答は求める$x$の値を小さい順に2行に分けて半角で入力してください。「$x=$」の記載は不要です。
（例）$x=$110, 2026 → 《1行目》$\color{blue}{110}$、《2行目》$\color{blue}{2026}$
${}$ 西暦2026年問題第9弾です。24時を回って、日付が変わってしまいました。僕の西暦問題では珍しく代数・解析分野からの出題となっています。さらにいうと、前回の問題と同じく$2026$を$2+2\sqrt{6}$と解釈する強引さを見せています。そんな珍しさと強引さを味わいながらお楽しみください。
解答形式
${}$ 解答は求める解の個数をそのまま半角で入力してください。
（例）109個 → $\color{blue}{109}$
なお、解が存在しない（不能）場合は$\color{blue}{0}$と、解が無数に存在する（不定）場合は$\color{blue}{\mathrm{inf}}$と入力してください。
${}$ 西暦2026年問題第8弾です。$2026$を$2^{26}$とする強引な西暦問題となりました。ついでに書くと、どこかに類題がありそうで、その点でも恐れています。皆さんはそんな僕の恐れなど気にせずにお楽しみください。
解答形式
${}$ 解答は1行目に$p_3$の値を、2行目に$p_4$の値を、それぞれ半角で入力してください。「$p_3=$」「$p_4=$」といった記載は不要です。
（例）$p_3=$108、$p_4=$2026 → 《1行目》$\color{blue}{108}$、《2行目》$\color{blue}{2026}$
問題文
$m,n$を整数とします。
$$(m+n)!+2025^{{n}^{m}}=2026^{mn+1}$$
を満たす組$(m,n)$について、$mn$の総積を求めてください。
解答形式
半角数字で入力してください。
${}$ 西暦2026年問題第7弾です。見た目も実際もがっつり整数問題です。ひととき整数と戯れてみてください。
なお、$2026$より大きい整数の素数判定が待ち受けています。適宜、素数表（たとえば https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_prime_numbers ）を利用するなり、Wolfram|Alpha（ https://www.wolframalpha.com ）を利用するなりしてください。
解答形式
${}$ 解答は求める値をそのまま半角で入力してください。
（例）107 → $\color{blue}{107}$
求められているのは平方数と素数に挟まれた数であることに注意してください。