数学の問題一覧
以下の問題から影響を受けて投稿しました。
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb081/tasks/14982
正整数の列 $(b_1,b_2,…,b_{6000})$ であって, 次の条件をすべて満たすものはいくつありますか. 素数 $1999$ で割った余りを求めてください.
- $b_1\leq b_2 \leq \dots \leq b_{6000}$.
- 以下の条件をすべて満たす正整数の列 $(a_1,a_2,…,a_{10000})$ が存在する.
- $a_1=1$.
- $i=1,2,\dots,9999$ に対して, $a_{i+1}=a_i +i+1$ または, $a_{i+1}=a_i+i$ が成り立つ.
- $i=1,2,\dots,6000$ に対して, $b_i \in\{a_1,a_2,\dots,a_{10000}\}$ が成り立つ.
問題文
$P,Q$を中心とする2円は2点で交わったので、その交点を$X,Y$とする。線分$PQ$とその2円が2点で交わるので、その交点を$A,B$とすると、$P,A,B,Q$がこの順に並んだ。
ここで、$PX=5$。$PQ=13$。$BY⊥XQ$のとき、$AB$の長さを求めよ。
解答形式
求めた解を$x$とすると、$x^2$は
非負整数$a,b,c$を用いて（$c≠0$）既約分数の形で、$\frac{±a±\sqrt{b}}{c}$と表せる（分母が1ならc=1とせよ）ので（複号自由）、$a+b+c$を半角の正整数値で入力してください。（解答に用いる値が2乗であることに注意すること。）
平行四辺形 $ABCD$ について，三角形 $ABC$ の外接円と線分 $AD$ が $A$ でない点 $E$ で交わり，三角形 $DEC$ の外接円と線分 $AB$ が接しました．$AE=2, ED=5$ のとき，線分 $AB$ の長さは正の整数 $a,b$ を用いて $a+\sqrt{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
$AB<AC$ を満たす三角形 $ABC$ について，内心を $I$，外心を $O$，$I$ から線分 $AC$ に下ろした垂線の足を $P$，線分 $BC$ の中点を $M$ とすると線分 $AI$ を直径とする円は線分 $MP$ に接しました．半直線 $MI$ と半直線 $CA$ が交わったのでその点を $D$ とし，直線 $BI$ と三角形 $ABC$ の外接円の $B$ でない交点を $N$ とします．三角形 $BDN$ の外接円と線分 $BC, CA$ (端点を除く) の交点が存在したのでそれぞれ $E,F$ とします．$EF=2, PM=5$ のとき，線分 $IO$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
鋭角三角形 $ABC$ について，$A$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$，垂心を $H$，線分 $HB,AC$ の中点をそれぞれ $M,N$ とし，線分 $MN$ と三角形 $NDC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とします．$AX\perp MN, XA=2, XD=1$ のとき線分 $AC$ の長さの二乗を解答してください．
$AB<AC$ なる鋭角三角形について，垂心を $H$、外心を $O$，線分 $BC$ の中点を $M$ とし，三角形 $AOM$ の外接円と半直線 $AB$，線分 $AC$ がいずれも $A$ でない点で交わったのでその交点をそれぞれ $D,E$ とします．線分 $DE$ と $BC$ の交点を $F$ とすると，$OH=4, HF=5, FM=6$ が成立しました．このとき，線分 $AO$ の長さの二乗を解答してください．