数学の問題一覧
問題文
$\text{A}$さんは、漫画「パワフル」を読んでいます。「パワフル」は $10^{100}$ 巻にわたって刊行されており、$1$ 巻は $120$ ページあります。$\text{A}$さんは「パワフル」を $1$ 巻から $1$ ページたりとも飛ばさずに読んでおり、昨日までに合計 $100i$ ページ読んでいます。
$\text{A}$さんは、今日は「パワフル」を次のような予定で読みます。
・昨日読んだ場所の続きから最大で $200$ ページ読む。$3$ の倍数の巻の終わりにたどり着いた場合、今日は「パワフル」を読むのをやめる。
このとき、$\text{A}$さんは、今日だけで「パワフル」を何ページ読めるかを、$i=1,2,…,12$について求めてください。
解答形式
$1$ 行で、$12$ パターンの答えを入力してください。
空白区切り・半角で、以下のように記述してください。
例：$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$ $11$ $12$
問題文
縦 $i$ マス、横 $j$ マスにわたって合同な正方形が敷き詰められています。このとき、最も左上にあるマスの座標を $(1,1)$ とし、右下のマスを $(i,j)$ とします。そこで、隣接するマスへ移動すること（例：$(1,1)$ → $(1,2)$ や $(3,4)$ → $(4,4)$ など）を次の条件のもとでちょうど $i+j-2$ 回（最短経路となるように）行います。
・マス $(p,q)$ について、$|p-q|\geq 4$ となるマスは通れない。
・マス $(p,q)$ について、$p=q$ かつ $p$ が偶数であるマスは通れない。
このとき、$(1,1)$ から $(i,j)$ に移動する経路の数を $W_{i,j}$ としたとき、$W_{i,j}$ の値を $3\leq i,j \leq 11$ について求めてください。なお、行き先が通れないマスである場合は、代わりにそのことを記述してください。
解答形式
$9$ 行にわたって入力してください。
空白区切り・半角で、以下の形で記述してください。なお、行き先が通れないマスである場合は、代わりに available と記述してください。
$W_{3,3}$ $W_{3,4}$ $\cdots$ $W_{3,11}$
$W_{4,3}$ $W_{4,4}$ $\cdots$ $W_{4,11}$
$...$
$W_{11,3}$ $W_{11,4}$ $\cdots$ $W_{11,11}$
問題文
$1$ から $i$ までの自然数が書かれた合計 $i$ 枚のカードが場に置かれています。これについて、あなたは次のようなゲームをします。なお、はじめのスコアは $0$ とし、墓地に捨てられたカードはゲーム中に再び使われることはないものとします。
- まず、場に置かれたカードを $2$ 枚選び、手札にします。
- そのうち、書かれた数字が大きい方を $a$ 、小さい方を $b$ としたとき、$a+b>i$ ならば スコアを $a-b$ だけ加算し、そうでなければ スコアを $a+b$ だけます。
- その後、場に残されたカードのうち、先ほど選んだ $2$ 枚のカードの中央値に最も近いカードを手札にします。なお、中央値に最も近いカードが複数あった場合、好きな方を選んで手札にします。
- その後、手札にある $3$ 枚のカードのうち最も数が小さいものを場に戻し、残りを墓地に捨てます。
これを、$\lfloor{\frac{i-1}{2}}\rfloor$ 回にわたって繰り返します。スコアが最大となるように行動したときのスコアを $S_i$ とします。
たとえば、$i=3$ のとき、次のように行動するとスコアが最大となります。
- $1,2,3$ のカードの中から $1$ と $2$ を選び、手札にします。
- このとき、$a+b=3$ で、$3>3$ は成り立たないので、スコアは $3$ 加算されます。
- その後、中央値 $\frac{1+2}{2}=1.5$ に最も近い数字を手札にするのですが、場には $3$ しか残っていないので、それを手札にします。
- このとき、手札には $1,2,3$ があり、$1$ を場に戻し、残りを墓地に捨てます。
- 手順を $\lfloor{\frac{3-1}{2}}\rfloor=1$ 回行ったのでゲームは終了です。
このとき、スコアを $3$ より大きくする方法はないので、$S_3=3$ となります。
同様に、$S_i$ を $4\leq i\leq 25$ について求めてください。
解答形式
$1$ 行で入力してください。
空白区切り・半角で、以下の形で記述してください。
$S_{4}$ $S_{5}$ $\cdots$ $S_{25}$
問題文
$10^{10}$ 以下の自然数について、次の条件をすべて満たす最大の自然数を $N_i$ 、最小の自然数を $M_i$ とします。
・約数の総和は $i^2$ で割り切れる。
・約数が $i$ 個以上ある。
・$10^{10}$ との最大公約数が $i$ 以上である。
このとき、$N_i$ および $M_i$ を、$1\leq i \leq 12$ について求めてください。なお、問題文の制約上、条件を満たす自然数が少なくとも $1$ つはあることが証明されています。
解答形式
$12$ 行で入力してください。
空白区切り・半角で、以下の形で記述してください。
$N_1$ $M_1$
$N_2$ $M_2$
$\cdots$
$N_{12}$ $M_{12}$
問題文
この問題は、問題文の内容がF問題とほぼ同じです。赤字で示された部分がF問題と異なり、F問題にない文章は青字で示されています。
縦に $i$ マス、横に $j$ マスにわたる、合計 $ij$ 個の合同な正方形があります。これを、隣接するマスの色が異なる色になるように、ちょうど $4$ 色で塗り分けます。ただし、$1$ つのマスを塗るのに使える色は高々 $1$ 色となります。このときの塗り分け方を $A_{i,j}$ 通りとします。$\color{red}{i=1}$ について、$j=2,3,4,5,6$ における $A_{i,j}$ の値をそれぞれ求めてください。
$\color{blue}{なお、マスが不足しており、ちょうど\ 4\ 色で塗り分けられない場合は、}$
$\color{blue}{代わりにそのことを報告してください。}$
解答形式
$1$ 行で入力してください。
空白区切り・半角で、以下の形で記述してください。なお、マスが不足している場合は Lack と表記してください。
$A_{1,2}$ $A_{1,3}$ $A_{1,4}$ $A_{1,5}$ $A_{1,6}$
問題文
非負整数 $i$ が与えられます。ここで、$i$桁の自然数について、各桁が相異なる数字が $A_i$ 個あり、そのうち最大の自然数を $M_i$, 最大の $4$ の倍数を $N_i$ とします。このとき、$A_i$,$M_i$,$N_i$ を、 $i=1,2,…,10$ について求めてください。
解答形式
$10$ 行にわたって入力してください。
空白区切り・半角で、以下の形で記述してください。
$A_1$ $M_1$ $N_1$
$A_2$ $M_2$ $N_2$
...
$A_{10}$ $M_{10}$ $N_{10}$
問題文
この問題は、問題文の内容がC問題とほぼ同じです。赤字で示された部分がC問題と異なり、C問題にない文章は青字で示されています。
縦に $i$ マス、横に $j$ マスにわたる、合計 $ij$ 個の合同な正方形があります。これを、隣接するマスの色が異なる色になるように、ちょうど $4$ 色で塗り分けます。ただし、$1$ つのマスを塗るのに使える色は高々 $1$ 色となります。このときの塗り分け方を $A_{i,j}$ 通りとします。$\color{red}{i=2,3,4,5,6,7}$ について、$j=2,3,4,5,6$ における $A_{i,j}$ の値をそれぞれ求めてください。
$\color{blue}{この問題は桁が著しく大きくなるため、A_{i,j}を\ 10001\ で}$
$\color{blue}{割った余りを記述してください。}$
解答形式
$6$ 行にわたって入力してください。
空白区切り・半角で、以下の形で、$10001$ で割った余り記述してください。
$A_{2,2}$ $A_{2,3}$ $A_{2,4}$ $A_{2,5}$ $A_{2,6}$
$A_{3,2}$ $A_{3,3}$ $A_{3,4}$ $A_{3,5}$ $A_{3,6}$
$\cdots$
$A_{7,2}$ $A_{7,3}$ $A_{7,4}$ $A_{7,5}$ $A_{7,6}$
問題文
整数nに対して偶数なら2で割り、奇数なら2乗して1引くという操作を繰り返したとき有限回の操作で整数が0になるとき、元の整数を良い数とする。良い数を全て求めよ。
解答形式
例
1,2,3