数学の問題一覧

問題

$x$についての方程式
$$t=|x^{2}+(3k-1)x-4k^{2}-4k|+(k-1)x-5k^{2}-3k+10$$
がある。($k$は定数とする。)
このとき、$x$の実数解が4つとなる$t$の範囲を$k$を用いて表すと次のようになる。
$k<-a,k>b$のとき$-ck^{2}-dk+e < y < k+f$

$k=g$のとき$h < y < i$

$j < k < l$のとき$-mk^{2}+nk+o < y < k+p$

このときの$a,b,c\cdots j,l,m,n,o,p$に当てはまる数をつぎの(1)~(25)から選べ

(1)$\frac{1}{10}$
(2)$\frac{1}{9}$
(3)$\frac{1}{8}$
(4)$\frac{1}{7}$
(5)$\frac{1}{6}$
(6)$\frac{1}{5}$
(7)$\frac{1}{4}$
(8)$\frac{1}{3}$
(9)$\frac{1}{2}$
(10)$0$
(11)$1$
(12)$2$
(13)$3$
(14)$4$
(15)$5$
(16)$6$
(17)$7$
(18)$8$
(19)$9$
(20)$10$
(21)$11$
(22)$12$
(23)$13$
(24)$14$
(25)$15$

解答形式

行ごとのジャッチです。
$a=1$だとすると一行目に11と答える形になります。

$$\sum_{k=1}^{66}\frac{4k}{k^4+4}$$ の値を求めて下さい．値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を答えて下さい．

$$\left\lfloor66\sum_{k=1}^{66}2^k\sin^2\left(\frac{\pi}{2^{k+1}}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2^{k}}\right)\right\rfloor$$ の値を求めて下さい．$\lfloor a \rfloor$ で $a$ の整数部分を表すものとします．

$$\sum_{i=1}^{66}\sum_{j=i}^{66}\frac{1}{j}$$の値を求めて下さい．

$f_0(x)=|x|,f_{n}(x)=|f_{n-1}(x)-n|$ とします．
$$\sum_{k=1}^{66}f_6(k)$$
の値を求めて下さい．

$$\sum_{i=1}^{66}\sum_{j=1}^{\lfloor\sqrt{i}\rfloor}\sum_{k=1}^{\lfloor\sqrt{j}\rfloor}\sum_{l=1}^{\lfloor\sqrt{k}\rfloor}1$$
の値を求めて下さい．

$$ \sum_{k=1}^{66}k^2(k^2-1)(k^2-4)$$
の値を求めて下さい．

$$\sum_{k=1}^{66}k\times \gcd(66,k)$$
の値を求めて下さい．$\gcd(a,b)$ で $a$ と $b$ の最大公約数を表すものとします．

問題

実数$a$に対して、複素数$z$が$z^2-2az+a^2+1=0$を満たしているとする。
また、この方程式の$2$つの解を$\alpha, \beta$とする。

このとき、$\alpha^4+\beta^4=0$を満たす実数をすべて求めよ。

解答形式

$a=(\quad)$の形式で書いてください。

問題文

四角形ABCDとその対角線BDを斜辺とする△BPDがある。BCとPDの交点をQとし、∠DBP=60°、∠QDC=15°のとき、PAとBDの交点はQからBDにおろした垂線がBDとの交じわる点と重なる。それはなぜか、証明しなさい。ただし、点Pは対角線BDを挟んでA反対側にあるとする。

解答形式

証明は自由記述です。ジャッジはありません。全て中3までの知識で解けます。

問題文

四角形ABCDがあります
AB＝10、BC＝10√2、CD＝10、DC＝10です、DA上に点Eがあり、EB＝10、EC＝10√2です

このいびつな四角形の面積を求めると

$a(\sqrt{b}+c\sin(\pi/d))$

となりました、abcdの積を答えて下さい #### 解答形式 係数は互いに素な整数、或いは最簡形 bは平方根でない整数、pi/dは既約数 半角数字のみでお願いします

問題文

$ $　三次元空間において，$x, y, z$ 座標がすべて整数であるような点を格子点と呼ぶことにします．$7$ 個の格子点の列 $(P_0, P_1, ..., P_6)$ であって，以下 $2$ 条件をともにみたすものは全部でいくつありますか？

• $P_0$ の座標は $(0, 0, 0)$ であり，なおかつ $P_6$ の座標は $(5, 5, 5)$ である．
• 各 $n = 1, 2, ..., 6$ に対し，線分 $P_{n - 1}P_n$ の長さは $\sqrt{n}$ である．

解答形式

答えは非負整数値であることが保証されます．半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．