数学の問題一覧

問題文

$a$を定数とし、$x^{2}+ax+999999468559$の整数解の個数を$n$とする。このときの$n$の値を求めてください。

解答形式

電卓使わなくても解けます。

問題文

次の$(ア)〜(エ)$に当てはまるものを下の(1)〜(13)から選びなさい。

正 $n^{2026}$角形($n$は2以上の整数)の対角線の本数は$\frac{(ア)+(イ)\times(ウ)}{(エ)}$本である。

(1)$n^{2026}$ (2)$n^{4052}$ (3)$n^{1013}$ (4)$n ^{36}$ (5)$n^6$
(6)0
(7)1
(8)2
(9)3
(10)4
(11)5
(12)36
(13)37
(14)38

解答形式

(1)〜(13)で、選んだ4つの()の中身の数字を足したものを答えてください

(例)
(ア)が(1)、(イ)が(2)、(ウ)が(3)、(エ)が(4)の場合、1+2+3+4=10なので10と答える

問題文

この時、色の塗られた部分の面積は(ア)√(イ)である

解答形式

(ア)+(イ)を答えてください。数字のみで答えなさい。分数になった場合は分母+分子を答えなさい。

(例)

(ア)=6、(イ)=6の場合
12と答えればOK

(ア)=4、(イ)=3/2の場合
(ア)+(イ)=11/2なので、
11+2=13より、
13と答えればOK

問題文

曲線Cは
$$\sqrt{x+\sqrt y}=1$$
と表される。曲線Cとx軸とx=m(m：整数)で囲まれた領域をDとし、領域Dの内部と周囲にある格子点の個数をT(m)としたとき、$$\lim_{m\to-\infty}\frac{T(m)}{-m^3}$$の値を求めよ。

解答形式

・答えが分数になる場合は$$分子/分母$$と表記してください。
・マイナスは全角－で表記してください。
・$$\sqrt{x^2+x}$$などと√の内部の式が大きくなったり、二文字以上の数字の場合は $$√(数式や数値)$$と答えてください。
・$$\sqrt3$$など√内が一文字の数字の場合は$$√数字$$と回答してください。

問題文

二次関数 $y=2x^2$ と一次関数 $y=-x\sqrt{3}-a$ があり、 $y=-x\sqrt{3}-a$ は $y=2x^2$ に接している。また、 $x$ 軸と $y=-x\sqrt{3}-a$ を接線とする円 $O'$ があり、中心の $x$ 座標は $\frac{39\sqrt{3}}{8}$ である。直線 $m$ は $y=-x\sqrt{3}-a$ に垂直であり、円 $O'$ の接線でもある。直線$m$と$y=-x\sqrt{3}-a$ との交点を$P$とする。次の $(ア)$ 〜 $(セ)$ に当てはまる数字を答えなさい。

(1)三角形ABOの面積は$\frac{(ア)\sqrt{(イ)}}{(ウ)}$
である

(2)円O‘の半径は$(エ)$である

(3)三角形A’B‘C’の面積は$\frac{(オ)\sqrt{(カ)}+(キ)}{(ク)}$
である

(4)直線mの式は$y=\frac{\sqrt{(ケ)}}{(コ)}x-\frac{(サ)\sqrt{(シ)}+(ス)}{(セ)}$

である

解答形式

1行目から始めて、行ごとに変えて答えなさい。一つの()に入る数字を1行に書き、次の()に入る数は下の行に書くような感じで間を空けないこと。
一つの()の中に複数の数字が入る場合もあります
(例)
$\frac{2}{3-\sqrt{5}}$を有利化すると$\frac{(ア)+\sqrt{(イ)}}{(ウ)}$
である

↓答える
↓
3
5
2

一つの()の中に複数の数字が入る場合

3-(ア)=-13
↓答える
↓
16

問題文

整数係数多項式で次数が $9999$ 以下の $P(x)$ について，$(P(1),P(2), \dotsc P(10000))$ が $(1,2, \dotsc 10000)$ の並べ替えであるとき，$P(10001)$ として考えられる最大値を解答して下さい．

$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において辺 $AB$ を直径とする円を $\omega_{1},$ 点 $B$ で直線 $AB$ に接し，点 $C$ を通る円を $\omega_{2}$ とします．また，$\omega_{1}$ と $\omega_{2}$ の交点のうち $B$ でないほうを $D$ とし，直線 $AD$ と直線 $BC$ の交点を $E$ とします．この時，次のことが成り立ちました．
$$BD=6,DC=4,CB=8$$
$\omega_{1},\omega_{2},$ 三角形 $CDE$ の外接円の中心をそれぞれ $O_{1},O_{2},O_{3}$ とするとき，三角形 $O_{1}O_{2}O_{3}$ の面積は互いに素な正の整数 $a,b$ と平方因子を持たない正の整数 $c$ を用いて $\dfrac{b\sqrt{c}}{a}$ と表せるので， $a+b+c$ の値を回答してください．

$問題$

$x>0$とし、$$\frac{(x^{3}+x^{2}-x-1)(1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots +x^{2^{x}-1})(2+4+6+8+\cdots +2x)^{2}}{(x^{2^{x}}-1)(1+2+3+\cdots +x)(\sqrt{1+3+5+\cdots +(2x+1)})} $$を簡単にしたものを$f(x)$とする。
このとき、$f(-10)$の値を求めよ。

次の積分の値を求めよ．
$$
I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log(1+\sin x+\cos x)\,dx
$$ただし，$\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{4}\log\left(\frac{1}{\tan x}\right)\,dx=G$ とする.

問題文

問　凸四角形$ABCD$が$AB+CD=BC+DA$を満たしている。次の4つの円の中心を$W,X,Y,Z$とする。
・線分$AB$と、線分$DA,CB$の$A,B$方向での延長線に接する円。
・線分$BC$と、線分$AB,DC$の$B,C$方向での延長線に接する円。
・線分$CD$と、線分$BC,AD$の$C,D$方向での延長線に接する円。
・線分$DA$と、線分$BA,CD$の$D,A$方向での延長線に接する円。
$WX=YZ$になるための四角形$ABCD$の必要十分条件を$A,B,C,D$以外の点を用いずに示せ。

解答形式

必要十分条件を求め、証明を記述してください。

問題文

$$y=(1+3+5+\cdots +(2x+1))$$と、$$y=(2x+4x+6x+\cdots +(2x^{2}))-5$$の交点を求めよ。ただし、$x>0$とする。

解答形式

$(x,y)$のときの$xy$の値を求めてください。

1=0
2=0
3=0
4=4
6=8

上記の条件が成り立つとき、次の「X」がとりうる最大値を答えよ。

5＝X

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