数学の問題一覧

問題文

正の整数 ${n}$ に対して定義される数列 ${a_n}$ が
$${a_1=2, a_2=-4, a_{n+2}-2a_{n+1}+4a_n=0}$$
を満たしている。
${|a_{2025}|}$ の正の約数の個数を求めよ。

解答形式

整数で入力してください

問題文

整数 ${n}$ に対して定義される数列 ${a_n}$ が
$${a_0=2, a_1=4, a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n=0}$$
を満たしている。
$${a_{2026}-a_{-2026}}$$
を求めよ。

解答形式

整数で入力してください

第3問

$t$が実数全体を動くとする。
このとき、点$$(\frac{1}{1+t^2},\frac{t}{1+t^2})$$はどのような図形を描くか答えよ。

解答する際の注意

答えの図形が正確に分かるようにお答えください。

第6問

次の問に答えよ。
$(1)$ $cos3θ=4cos^3θ-3cosθ$を示せ。
$(2)$ $cos4θ$を$cosθ$の整式で表せ。
$(3)$ $cos\frac{2}{7}π$が無理数であることを示せ。

第7問

次の定積分を求めよ。$$\int_{0}^{\frac{π}{2}}{\frac{dx}{1+tanx}}\quad$$

第2問

次の空欄$(ア)～(エ)$に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
関数$f(x)$を$$f(x)=\frac{log(x)}{x}$$と定める。
$f(x)$は、$x=(ア)$で、極大値$\frac{(イ)}{e}$をとる。
また、$$\int_1^e{f(x)dx}\quad$$
の値は$\frac{(ウ)}{(エ)}$である。

ただし、対数は自然対数を表し、$e$は自然対数の底とする。

第1問

次の空欄$(ア)～(オ)$に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
数列{$a_{n}$}を次のように定める。
$$a_1=a_2=1,a_{n+2}-a_{n+1}+a_n=0　(nは自然数)$$この数列の一般項は

$a_n=\frac{(ア)}{\sqrt{(イ)}}$$sin\frac{nπ}{(ウ)}$
である。
また、$a_{2025}=(エ)$であり、$$\sum_{n=1}^{2025}{a_n}=(オ)\quad$$である。

第5問

実数$x,y$が不等式$x^2+y^2=1$をみたすとき、$x+y$の最大値を求めよ。

第4問

$θ$を媒介変数とし、次のように表される曲線$C$を考える。$$\begin{cases}x=θ-sinθ\\y=1-cosθ\end{cases}$$
$0≦θ≦2π$として、この曲線$C$の長さ$L$を求めよ。

問題文

$p,q$を素数とする。
$pq(p+q)$が平方数となるものをすべて求めよ。

解答形式

簡単な証明もお願いします。

問題文

$n,a$を自然数とする。$n!$の末尾の$０$の個数を$N(n)$,$n$を$a$進数で表した時の各桁の和を$S_{a}(n)$とする。(例えば$S_{10}(141)=6$)
このとき，$N(n)$を$S_{a}(n)$，$n$を用いて表せ。

√１から√100までを√n、√mとし範囲は√１≤√n≤√100、また同様に√１≤√m≤√100とする、
√n=aとし、√m=b
a/bが有理数となるのは何通りあるか、
その確率を求めよ
ただし、重複を許さない。
また回答は　
求めた値(該当するもの)/求めた値(全体的)
で答えてください