数学の問題一覧
問題文
$a,n$ を正の整数とする．
$$\int ax^ne^xdx$$
の $e^x$ の係数が $2026!$ であるような $(a,n)$ の組は何個ありますか？
解答形式
整数で解答してください
問題文
$a, b$ を実数とする。複素数 $z$ に対して
$$
f(z)=z^{2}+a z+b
$$
とおく。また，方程式 $f(z)=0$ のすべての解は $\lvert z\rvert \le 1$ を満たしている。
(1) 点 $f(1+i)$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
(2) 点 $w$ が虚軸上を動くとき，点 $f(w)$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
解答形式
範囲を文章や不等式で表しても可とします。
例)・$3$点$1$,$1+i$,$-1+i$を頂点とする三角形の周及び内部。
・座標平面における不等式 $y\le x^2$が表す領域。
問題文
$r$ を正の実数とし，自然数 $n$ に対して，整式 $f_n(x)$ を
$$
f_n(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{k}}{r^{k}}
$$
とする。また，整式 $f_n(x)$ を整式 $x^{2}-x-1$ で割った余りを $a_n x + b_n$ とする。
(1) 数列 {${a_n}$},{${b_n}$}の一般項をそれぞれ求めよ。
(2) 数列 {${a_n}$},{${b_n}$} がいずれも $0$ でない実数に収束するために正の実数 $r$ が満たすべき条件を求めよ。
また，そのときの極限値をそれぞれ $r$ を用いて表せ。
解答形式
特に指定しません。
問題文
(1) 同一平面上にない 4 点 $O, A, B, C$ を頂点とする四面体 $OABC$ がある。
いま，4 点 $O, A, B, C$ をどのようにとっても，四面体 $OABC$ の内接球の中心はただ 1 つ存在することを示せ。
(2) $O$ を原点とする座標空間において，点 $(0,0,1)$ を中心とする半径 1 の球面を $S$ とする。
$S$ 上の $x>0,\ y>0,\ z>1$ を満たす部分に点 $P$ をとり，$P$ において球面 $S$ と接する平面を $L$ とする。
また，平面 $L,\ xy$ 平面，$yz$ 平面，$zx$ 平面によって囲まれる部分を $D$ とする。
$D$ の全ての面に内接する球の半径を $r$ として，$r$ のとりうる値の範囲を求めよ。
解答形式
特に指定しません。
問題文
平面上に $2$ 本の平行な直線 $l_1,\ l_2$ がある。
ある $2$ 以上の整数の組 $(x, y)$ に対して，直線 $l_1$ 上に互いに異なる $x$ 個の点 $A_1, A_2, \dots, A_x$，直線 $l_2$ 上に互いに異なる $y$ 個の点 $B_1, B_2, \dots, B_y$ をとり，
点 $A_1, A_2, \dots, A_x$ のそれぞれに対して，点 $B_1, B_2, \dots, B_y$ のいずれか $1$ 点を選んで線分で結ぶ（合計 $x$ 本の線分を引く）。また，引かれた $x$ 本の線分同士の交点のうち
直線 $l_2$ 上にない交点の個数を $C(x, y)$ と表す。
（例えば， $C(2, 2)$は$0,1$のいずれかの値をとり、$C(3, 2)$は$0,1,2$のいずれかの値をとる。また，直線 $l_2$ 上にない交点が存在しない場合，$C(x, y)=0$ とする。）
ただし，直線 $l_2$ 上にない点が，$3$ 本以上の線分の同一の交点になることはないものとする。
$(1)$ $C(5, 4)=0$ を満たす $5$ 本の線分の引き方の総数を求めよ。
$(2)$ $C(5, 4)=1$ を満たす $5$ 本の線分の引き方の総数を求めよ。
$(3)$ $C(5, 4)=2$ を満たす $5$ 本の線分の引き方の総数を求めよ。
$(4)$ $C(5, 4),\ C(8, 5)$ の最大値をそれぞれ求めよ。
$(5)$ $n$ を $2 $以上の整数，$m$ を $n$ 以上 $2n$ 以下の整数とする。
$C(m, n)$ の最大値を $m, n$ を用いて表せ。
解答形式
特に指定しません。
問題文
$\alpha, \beta$ を複素数とし，$0$ でない複素数 $z$ に対して
$$
f(z)=\alpha z^{2}+z+\dfrac{\beta}{z}
$$
とおく。$\alpha, \beta$ は
$$
\lvert f(1)\rvert \le 2 \quad \text{かつ} \quad \lvert f(i)\rvert \le 2
$$
を満たしながら動く。ただし，$i$ は虚数単位である。
(1) $f(1+i)$ がとりうる範囲を求め，複素数平面上に図示せよ。
(2) $\lvert f(1+i)\rvert$ の最大値を求めよ。
(3) $P(\alpha), Q(\beta)$ とおく。$f(1+i)$ が実数，かつ $f(1), f(i)$ がともに $-2$ 以上 $2$ 以下の実数であるとき，線分 $PQ$（端点を含む）が通りうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
解答形式
⑴、⑶については、どんな図形になるかを解答すれば可とします。
例)原点を中心とする半径1の円(周と内部を含む)。