数学の問題一覧
問題
周の長さが$200$である$△ABC$がある。
この三角形において、操作$1$を行う。
操作$1$「$頂点A$から、$辺BC$に向けて垂線を引き、$辺BC$との交点を$点D_{1}$とする。
次に、$点D_{1}$から$辺AB$に向けて垂線を引き、$辺AB$との交点を$点E_{1}$とし、$点E_{1}$と$点C$を結ぶ。」
次に操作$n$を行う。($2\leq n$)
操作$n$「$点E_{n-1}$から$辺BC$に向けて垂線を引き、$辺BC$との交点を$点D_{n}$とする。
次に、$点D_{n}$から$辺AB$に向けて垂線を引き、$辺AB$との交点を$点E_{n}$とし、$点E_{n}$と$点C$を結ぶ。」この操作を$n$回目まで行う。
$辺AB=x,辺BC=y$とするとき、$△E_{n}BC$の面積は、
$$a\sqrt{(b-c)(c-d)(c-e)}(f-\frac{bg(c-d)(c-e)}{(dy)^{h}})^{i}$$となる。
$a,b,c,d,e,f,g,h,i$に当てはまる文字式や数字を下の(1)~(20)から選んでください。
(1)$x$
(2)$y$
(3)$(x-y)$
(4)$(x+y)$
(5)$xy$
(6)$nx$
(7)$ny$
(8)$(n-1)$
(9)$n$
(10)$(n+1)$
(11)$1$
(12)$2$
(13)$4$
(14)$5$
(15)$10$
(16)$20$
(17)$50$
(18)$100$
(19)$200$
(20)$400$
解答形式
行ごとのジャッチのため一行目に$a$に当てはまる数の番号を、二行目に$b$に当てはまる数の番号を$\cdots$という感じで解答してください。
ex.)$a=x$のとき一行目には1と解答する。
問題文
△ABCは角ACB＝90°、角ABC=30°の直角三角形である。また、BC=$\frac{123\sqrt{3}+9921}{4}$でもある。
弧PCはBCを半径とする円の一部であり、弧PQはBPを直径とする円の一部である。
この時、次の面積の値を求めなさい。
(あ)-(い)
解答形式
答えのみを答えてください。√を含む場合はカタカナでルートと答えてください。
マイナスはハイフンを用いてください。プラスは以下の記号をコピペしてご利用ください。
+
(例)
2√3
↓
2ルート3
と答えてください
(2-√2)/2
↓
(2-ルート2)/2
と答えてください
問題文
半径が2である大円Oとその中心上を通る小円O‘がある。また、それぞれの円周の交点をA、Bとする。
小さい方の弧AB上に弧AP:弧PB＝1:2となるような点Pをとると、角APB＝135°になりました。
次の(ア)〜(カ)に当てはまるものを(1)〜(18)の中から選びなさい。同じものを選んでも良いものとする。
この時、色が塗られた面積(大円と小円が重なっている部分の面積)を求めると
$\frac{(ア)\sqrt{(イ)}}{(ウ)}-\frac{\sqrt{(エ)}+(オ)}{(カ)}$
になります
(1)$i$
(2)$\pi$
(3)$e$
(4)3
(5)2
(6)6
(7)5
(8)7
(9)8
(10)13
(11)16
(12)19
(13)15
(14)25
(15)21
(16)32
(17)20
(18)35
解答形式
(ア)〜(カ)に当てはまる()ないの数字を全て足して答えなさい。
(例)
(ア)に入るのが(1)
(イ)に入るのが(2)
(ウ)に入るのが(3)
の場合
1+2+3=6より
6と答えれば良い
問題文
$正方形ABCD$があり、4辺をそれぞれ斜辺とする3辺の比が$a:b:c(a\leq b\leq c)$の直角三角形$(△ABH,△BCE,△CDF△DAG)$をそれぞれ重ならないように配置する。正方形の対角線$AC,BD$の交点を$I$とする。$AG$と$ID$の交点を$点J$、$FD$と$IC$の交点を$点K$としたとき、$△JGD$の面積が、$図形AKDJ(△AKD-△AJD)$の面積の$\frac{1}{4}$となった。このとき、$\angle IJG$の大きさを求めよ。
解答形式
$\angle IJG=$と°は要りません。
問題
$正方形ABCD$があり、4辺をそれぞれ斜辺とする3辺の比が$a:b:c(a\leq b\leq c)$の直角三角形$(△ABH,△BCE,△CDF△DAG)$をそれぞれ重ならないように配置する。正方形の対角線$AC,BD$の交点を$I$とする。$AG$と$ID$の交点を$点J$、$FD$と$IC$の交点を$点K$としたとき、$△JGD$の面積が、$図形AKDJ(△AKD-△AJD)$の面積の$\frac{1}{4}$となった。また、$△AEJ$の面積が$(4-2\sqrt{3})$であるとき、$正方形ABCD$の面積を求めよ。
問題文
図形ABCDEFGHIJKLMNは一辺が1の立方体の展開図である。DK、AG、GLをむずんだ。さらに、DKとBIの交点をPとし、PMを結んだ。この時、次の$(ア)〜(エ)$に当てはまる数を答えなさい。
(1)色が塗られた三角形の面積は$\frac{√(ア)}{(イ)}$である
(2)角PMB=a°とする。角AGBをaを用いて表した式において、a°＝23°を代入するとその式の値は$\sqrt{(ウ)}$ °になる。
(実際にはa°≠23°だが、回答の都合のため)
(3)下の文において、真であるものは$(エ)$個ある
・△PMDと△PAGの面積は等しい
・△MFKと△FDPは相似である
・AGとDKは垂直である
・MFとAGとの交点をQとすると、角MQG-90°=45°である
・GLとDKの交点をRとするとGR:RL=2:1である
・$\frac{5√3}{4}$(MP+$\frac{1}{3}$AG+MI)=GL
解答形式
行ごとにジャッジするため、1行目に(ア)に入るものを、2行目に(イ)に入るもを答えるような感じで、行を変えながら()に入る数のみ答えなさい。
(例)
5
3
11451
811
問題
一辺が、$6\sqrt{3}$の$正三角形ABC$がある。
ここで、操作1
「$PA:PB:PC=1:2:3$となる$点P$を三角形の内部にとる。$点P$を頂点とし、$辺AB,BC,CA$の一部をそれぞれ底辺とする正三角形を作る。」を行う。
次に操作$n$$(2\leq n\leq 2027^{2026})$とする。
「操作$(n-1)$でできた三角形において、それぞれ新たな$点A,B,C$を定め、操作1を行う。」を操作$2027^{2026}$まで繰り返す。
操作$2027^{2026}$でできた三角形全てに操作$n$と同じように$点P$を定め、それぞれの三角形の三辺に$点P$から垂線を引く。この垂線全ての長さの和を求めてください。
