数学の問題一覧
問題
実数 $x, y$ が以下の連立方程式を満たすとき、$x, y$ の値を求めよ。
$$
\begin{cases}
\log_2 x = \log_4 (1 - y^2) \\
\log_2 x + \log_2 (x^2 - 3y^2) = -\frac{1}{2}
\end{cases}
$$
解答形式
自動採点の都合上、以下の指示に従って解答を入力してください。
連立方程式の解のうち、$y > 0$ を満たすものを $(x, y) = (\alpha, \beta)$ とおく。
このときの積 $\alpha \beta$ の値を求め、既約分数で半角入力せよ。
（例：答えが $\frac{2}{3}$ の場合は 2/3 と入力）
問題文
$(1,2,...,n)$ の並び替え $(A_1,A_2,...A_n)$ について，2つの数を入れ替える操作を繰り返すことで $(1,2,...,n)$ に一致させることを考えます．この操作回数の最小値の期待値を $E_n$ とするとき，$E_{2026} - E_{2024}$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので $a+b$ を回答してください．
解答形式
例）半角数字で回答してください．
問題文
$x$ の2次方程式 $x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの実数解を $\alpha, \beta$ （$\alpha > \beta$）とし、数列 ${a_n}$ を$$a_n = \alpha^n + \beta^n \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$$で定義する。以下の問いに答えよ。(1) $a_1, a_2, a_3$ の値を求めよ。また、$n \ge 1$ に対して $a_{n+2}$ を $a_{n+1}$ と $a_n$ を用いて表せ。(2) すべての自然数 $n$ に対して、次の等式（カッシーニの恒等式の拡張）が成り立つことを証明せよ。$$a_{n+1}^2 - a_{n+2} a_n = -12$$(3) 次の和 $S_n$ を、$a_1, a_2, a_{n+1}, a_{n+2}$ を用いて対数を使わずに（ひとつの対数の中にまとめた真数の形で）表せ。$$S_n = \sum_{k=1}^{n} \log_2 \left( 1 + \frac{12}{a_k a_{k+2} - 12} \right)$$(4) 数列 ${a_n}$ の一の位の数字を $c_n$ とする。数列 ${c_n}$ が周期性を持つことを示し、和 $T = \sum_{k=1}^{2027} c_k$ を求めよ。(5) $\alpha > \beta$ であることを用いて、任意の自然数 $n$ に対して次の不等式が成り立つことを示せ。$$a_n - 1 < \alpha^n < a_n$$さらに、$(2+\sqrt{3})^{2027}$ の整数部分の一の位の数字を求めよ。
解答形式
例）ひらがなで入力してください。
問題文
$AB < AC$ をみたし，$\angle B$ が鋭角であるような三角形 $ABC$ について，辺 $BC$ 上(端点を除く)に点 $D$ をとり，線分 $AD$ の中点を $E$ とすると，$AB = AD , \angle AEB = 2\angle ACB$ が成立した．また $\angle AEB$ の二等分線と線分 $AC$ は $C$ でない点 $F$ で交わり，$CD = 2 , EF = \sqrt{3}$ が成立した．このとき線分 $BD$ の長さは，平方因子を持たない正整数 $a$ と正整数 $b , c$ を用いて $\dfrac{\sqrt{a} + b}{c}$ と表されるので，積 $abc$ を解答せよ．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
三角形 $ABC$ の辺 $BC$ 上(端点を除く)に点 $D$ があり，三角形 $ABD$ の外接円と線分 $AC$ が点 $E$ で再び交わった．線分 $AD$ と線分 $BE$ の交点を $F$ とすると，三角形 $BDF$ の外接円と線分 $AB$ が点 $G$ で再び交わり，$GB = GE$ が成立した．また直線 $FG$ と線分 $BC$ が点 $H$ で交わり，$\angle BAD = \angle CAH$ をみたした．$AE = 5 , DG = 2$ であるとき，線分 $GH$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正整数 $a , b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a + b$ の値を解答せよ．
解答形式
半角数字で解答してください．
$AB<AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，垂心を $H$，$A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とし，直線 $EF$ と $BC$ の交点を $X$ とすると，$XA=XE$ が成立した．線分 $AX$ の中点を $M$ とし，三角形 $AHC$ の外接円と三角形 $MXD$ の外接円が $2$ 点で交わったのでそれらを $Y,Z$ とすると，$A,Y,H,Z,C$ はこの順に同一円周上に並んだ．$XY=XZ$ のとき，$\dfrac{AB}{BC}$ の二乗は正の整数 $a,b,c$ ($a$ と $c$ は互いに素) を用いて $\dfrac{a-\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$abc$ を解答せよ．
$AB=11, AC=18$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，線分 $AD$ が外接円の直径をなすような点 $D$ を取り，線分 $BC$ の中点を $M$，$D$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $E$ とする．三角形 $AME$ の外接円が線分 $AB$ に接するとき，線分 $BC$ の長さの二乗を解答せよ．
問題文
$AB < AC$ なる三角形 $ABC$ の辺 $AC$ 上に $AB = CP$ なる点 $P$ をとり，$2$ 点 $A , P$ を通り，直線 $BP$ に接するような円を $\omega$ とする．いま，三角形 $ABC$ の外接円と $\omega$ は $A$ でない点で交わったので，その点を $X$ とすると，直線 $AB$ は $\omega$ に接し，さらに次が成立した． $$BC = 12 , PX = 5$$ このとき，線分 $BP$ の長さの $2$ 乗を解答せよ．
解答形式
半角数字で解答してください．
$AB\lt AC$ なる三角形 $ABC$ について，外接円の弧 $BAC$ の中点を $M$，内接円を $\omega$，$\omega$ と線分 $BC,CA,AB$ の接点をそれぞれ $D,E,F$，直線 $ME,MF$ と $\omega$ が再び交わる点をそれぞれ $X,Y$，線分 $XY$ と $EF$ が交わったのでその点を $Z$ とすると，直線 $EF$ が $\angle YEB$ を二等分し，直線 $ME$ と $DZ$ が平行であった．$\dfrac{BC}{EX}$ の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．
$x, y, z$ を正の実数とする。以下の連立方程式を満たすとき、$xy + yz + zx$ の値を求めよ。
- $x^2 + xy + y^2 = 25$
- $y^2 + yz + z^2 = 36$
- $z^2 + zx + x^2 = 49$
解答形式
√を含む場合は根号の中身がなるべく小さくなるようにして√部分と係数部分を分けて解答してください。
·解答例 15√3のとき
15
3
素数 $p, q$ に対して、$4p^3 + 27q^2$ が平方数となるような組 $(p, q)$ をすべて求めよ。
答える際には(p,q)の各組の積を足した数を入力してください。
·解答例(p,q)=(2,3),(5,7)のとき
2×3+5×7=41から41を入力してください。
もし存在しないのであれば0を入力してください