数学の問題一覧

$$nは自然数である$$$$相異なる非負整数x_1,x_2,…,x_nについて$$$$任意のx_i,x_j(1\leq i\leq n,1\leq j \leq n)$$$$に対してとある奇素数pで割った余りが$$$$どれも等しく-2である(x_j,x_i\leq np)$$$$この時以下の式がpで何回割れるか答えよ$$

$$Π_{k=1}^{p}\quad(\sum_{1\leq i <j\leq
n}\quad2(x_ix_j)^k-4n^2 +4^kn) $$

$$ただしΠは相乗を表しΣは総和を表す$$

$$*\sum_{1\leq i <j\leq n}x_ix_jは1\leq i<j\leq nを満たす$$$$すべての整数の組(i,j)についての$$$$x_ix_jの和を表す$$

問題文

各辺が$\;1\;$の正八面体$\;O$-$ABCD$-$E\;$において、$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\;\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\;\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c},\;\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{d}$とする。
また、辺$\;OB\;$の中点を$\;M\;$、正八面体の各頂点を通る球 (外接球) の中心を$\;L\;$とする。

$(1)\;\overrightarrow{d}$を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$を用いて表せ
$(2)\;$球上の点と点$\;M\;$の最短距離を求めよ
$(3)\;(2)$において最短となる球上の点を$\;N\;$とすると、$\overrightarrow{LN}\;$を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$を用いて表せ

$$$$

解答形式

㋐～㋗に当てはまる半角数字を行ごとに入力してください。
㋘～㋚には$\;1\;$か$\;-1\;$を入力してください

$(1)\;\overrightarrow{d}=㋐\;\overrightarrow{a}+㋑\;\overrightarrow{b}+㋒\;\overrightarrow{c}$
$(2)\displaystyle\frac{\sqrt{㋓}-㋔}{㋕}$
$(3)\;\overrightarrow{LN}=\displaystyle\frac{\sqrt{㋖}}{㋗}(\;㋘\;\overrightarrow{a}+㋙\;\overrightarrow{b}+㋚\;\overrightarrow{c}\;)$

問題

+1, -1, ×1, ÷1がそれぞれ書かれた4種類のカードがそれぞれ十分な枚数あります。
今、$a_{0}=1$として、毎回1枚のカードを引き、$a_{n+1}$を$a_{n}$に対してそのカードに書かれた操作をすることによって定めます。ただし、nは非負整数です。
例えば、+1、+1、×1の順でカードを引いた時、$a_{0}=1$、$a_{1}=2$、$a_{2}=3$、$a_{3}=3$となります
10回の操作後、$a_{10}=1$となるようなカードの引き方の総数を求めてください。

解答形式

非負整数のみで回答してください

$$
log_3\frac{{9}^{n^2}}{27^n}>9i^{10}
$$

$$
log_2\frac{{4}^{n^2}}{{8^n}}<9
$$

$$
log_{2}{1024}^{n^2}-log_381^n+log_525=0\\について、最小値を求めてください。
$$

$$
-log_359049^n<6i^{10}
$$

$$
log_{10}{2}=2.3,log_{10}{3}=2.5とするとき\\1024^n>81i^6
$$

$$
ｘ>0,y<0のとき\\
log_x(\frac{1}{x})^y<3i^6
$$

$$ 数列a_{n}を次のように定義する$$$$a_{1}=4,a_{2}=1,a_{3}=16,a_{4}=9……
$$$$a_{2n-1}=(2n)^{2},a_{2n}=(2n-1)^{2}$$$$この時一般項a_{n}と和S_{n}を奇偶で場合分け$$$$せず1つの式でそれぞれ求めよ
$$$$(ただしS_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}とする)$$$$解答法はa_{n}=...,S_{n}=…です$$

$$
log_2(\frac{1}{1024})^n>6i^6
$$

$$
a>0,b<0のとき\\log_{a+1}{|b|}=log_cc^2について、２つの異なる解をもつとき\\のbをもとめてください。
$$