数学の問題一覧
【問題】
$a>1$とする。座標平面上に円$C:(x-a)^2+y^2=1$がある。
円$C$上の第1象限にある点$P(p,q)$における接線を$l_1$とし、$l_1$が$y$軸と交わる点を$A$とする。
点$A$から円$C$に引いたもう1本の接線を$l_2$とし、$l_2$が$x$軸と交わる点を$B$とする。
同様に、点$B$から引いたもう1本の接線を$l_3$とし、$l_3$が$y$軸と交わる点を$C$、点$C$から引いたもう1本の接線を$l_4$とし、$l_4$が$x$軸と交わる点を$D$とする。
4本の接線$l_1,l_2,l_3,l_4$で囲まれる四角形$ABCD$の面積$S$を、$a,p,q$を用いて表せ。
解答形式
a=2,p=7/5,4/5のときのSの値を答えてください
問題
$a$を$|a|>1$を満たす実数とする。$xy$平面上に、中心$A(a,0)$、半径$1$の円$C:(x-a)^2+y^2=1$がある。
円$C$上に、$x$軸上にない任意の点$P_1$をとる。自然数$n=1,2,3,\dots$に対して、円$C$上の点列${P_n}$を以下の操作によって順に定める。
- 操作1：点$P_{2n-1}$における円$C$の接線を引き、この接線と$y$軸との交点を$Q_n$とする。
- 操作2：点$Q_n$から円$C$に2本の接線を引き、その接点のうち$P_{2n-1}$とは異なる方の点を$P_{2n}$とする。
- 操作3：点$P_{2n}$と円$C$の中心$A$に関して対称な点を$P_{2n+1}$とする。
操作を限りなく繰り返すとき、点列$P_1,P_3,P_5,\dots,P_{2n-1},\dots$は円$C$上のある定点に近づく。その近づいていく定点の座標を求めよ。
解答形式
a=2の場合の答えを入力してください
·解答例 近づく定点が(x,y)のとき
x
y
問題文
ある学生の祝日のない $1$ 週間の勉強習慣は以下のようになっている$.$
- $1$ 週間で勉強する日数の平均は $4$ 日であり$,\,$ 平日の $5$ 日間で勉強する日数の平均は $3$ 日である$.$
- 平日は勉強する日と勉強しない日をそれぞれ必ず $1$ 日以上設ける$.\,$ また$,\,$ 休日は勉強する日を必ず $1$ 日以上設ける$.$
- $1$ 週間のうち$,\,$ 勉強する日数がちょうど $2$ 日である確率は $\frac{1}{14}$ $,\,$ ちょうど $5$ 日である確率は $\frac{1}{4}$ である$.$
この学生が $1$ 週間でちょうど $4$ 日勉強する確率を求めよ$.$
解答形式
答えは互いに素な正の整数 $a\,,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので$,\,$ $a+b$ の値を答えてください$.$
問題文
$$x^{2^{2026}+2026} \equiv y^{2^{2027}+2027} \pmod{2027}$$を満たす整数 $x, y$ の組の個数を求めてください。ただし$,$ $0 \leqq x, y \leqq 2026$ とする。
解答形式
半角数字で入力してください。
問題
方程式 $p^2+q^2+r^2=2027$ を満たす素数の組 $(p,q,r)$ をすべて求めよ。
ただし、$p \le q \le r$ とする。
解答形式
組の個数ごとに改行して答えてください。なお、組が複数ある場合はpが小さい順に並べてください。
解答例(p,q,r)=(3,5,7),(2,7,11)のとき
2,7,11
3,5,7
問題文
正の整数 $N$ に対し$,$ $N$ を $10$ 進法で表したときの各桁の数字の和を $S(N)$ とするとき$,$ $\sqrt{N} = S(N) - 2$ が成り立つような $N$ の値をすべて求めてください。
解答形式
半角数字で$,$ $N$ の総和を入力してください。
問題文
長方形 $\mathrm{ABCD}$ の $2$ 頂点 $\mathrm{A}\,,\mathrm{B}$ が円 $\mathrm{O}$ 上にあり$,\,$ 辺 $\mathrm{CD}$ が円 $\mathrm{O}$ に接している$.\,$ $\mathrm{A}\,,\mathrm{B}$ の各点において円 $\mathrm{O}$ に外接し$,\,$ かつ直線 $\mathrm{CD}$ に接する円をそれぞれ円 $\mathrm{O_A}\,,\mathrm{O_B}$ とする$.\,$ $2$ 円 $\mathrm{O_A}\,,\mathrm{O_B}$ が外接するときの長方形 $\mathrm{ABCD}$ の辺の長さの比 $\mathrm{\dfrac{AB}{BC}}$ の値を求めよ$.$
解答形式
答えは互いに素な正の整数 $a\,,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので$,\,$ $a+b$ の値を解答してください$.$
$N$ を自然数とし、以下の変数を定義します。
* $S$：$N$ の各位の和
* $P$：$N$ の各位の積
* $k$：$N$ の桁数
このとき、次の条件式を満たす自然数 $N$ をすべて求めてください
$$N = S^k + P \dots (*)$$
なお、必要であれば常用対数の値を用いてもよいです。
(例) $N = 1234$ のとき
* $S = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$
* $P = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$
* $10^3 \le 1234 < 10^4$ より $k = 4$
このとき、$S^k + P = 10^4 + 24 = 10024$ となります。
$N \neq S^k + P$ （$1234 \neq 10024$）であるため、この $N$ は条件を満たさないことがわかります。
解答形式
Nを小さい順に並べて解答してください
解答例:N=12,34のとき(実際の解とは異なりますが…)
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問題
実数 $x, y$ が以下の連立方程式を満たすとき、$x, y$ の値を求めよ。
$$
\begin{cases}
\log_2 x = \log_4 (1 - y^2) \\
\log_2 x + \log_2 (x^2 - 3y^2) = -\frac{1}{2}
\end{cases}
$$
解答形式
自動採点の都合上、以下の指示に従って解答を入力してください。
連立方程式の解のうち、$y > 0$ を満たすものを $(x, y) = (\alpha, \beta)$ とおく。
このときの積 $\alpha \beta$ の値を求め、既約分数で半角入力せよ。
（例：答えが $\frac{2}{3}$ の場合は 2/3 と入力）
問題文
$x$ の2次方程式 $x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの実数解を $\alpha, \beta$ （$\alpha > \beta$）とし、数列 ${a_n}$ を$$a_n = \alpha^n + \beta^n \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$$で定義する。以下の問いに答えよ。(1) $a_1, a_2, a_3$ の値を求めよ。また、$n \ge 1$ に対して $a_{n+2}$ を $a_{n+1}$ と $a_n$ を用いて表せ。(2) すべての自然数 $n$ に対して、次の等式（カッシーニの恒等式の拡張）が成り立つことを証明せよ。$$a_{n+1}^2 - a_{n+2} a_n = -12$$(3) 次の和 $S_n$ を、$a_1, a_2, a_{n+1}, a_{n+2}$ を用いて対数を使わずに（ひとつの対数の中にまとめた真数の形で）表せ。$$S_n = \sum_{k=1}^{n} \log_2 \left( 1 + \frac{12}{a_k a_{k+2} - 12} \right)$$(4) 数列 ${a_n}$ の一の位の数字を $c_n$ とする。数列 ${c_n}$ が周期性を持つことを示し、和 $T = \sum_{k=1}^{2027} c_k$ を求めよ。(5) $\alpha > \beta$ であることを用いて、任意の自然数 $n$ に対して次の不等式が成り立つことを示せ。$$a_n - 1 < \alpha^n < a_n$$さらに、$(2+\sqrt{3})^{2027}$ の整数部分の一の位の数字を求めよ。
解答形式
例）ひらがなで入力してください。
$x, y, z$ を正の実数とする。以下の連立方程式を満たすとき、$xy + yz + zx$ の値を求めよ。
$x^2 + xy + y^2 = 25$
$y^2 + yz + z^2 = 36$
$z^2 + zx + x^2 = 49$
解答形式
√を含む場合は根号の中身がなるべく小さくなるようにして√部分と係数部分を分けて解答してください。
·解答例 15√3のとき
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