数学の問題一覧

問題文

$3$ つの区別できる立方体があります。躑躅色$,$ 熨斗目花色$,$ 鶸色 の絵の具を用意し$,$ $18$ 面のうち無作為に選んだ $6$ 面を躑躅色に$,$ 別の $6$ 面を熨斗目花色に$,$ 残りの $6$ 面を鶸色に塗ります。ただし$,$ どの塗り方も等確率で起こるものとします。

色が塗られた後の $3$ つの立方体を同時に投げたとき$,$ 出た $3$ つの面の色を記録した後$,$ $3$ つの立方体をそれぞれ $1$ 回目に出た面とは異なる面が無作為に上面となるように$,$ 同時にもう一度投げるとき$,$ $1$ 回目に出た $3$ つの面がすべて異なる色であり$,$ かつ $2$ 回目に出た $3$ つの面もすべて異なる色となる確率を求めてください。

解答形式

答えは分数になるので(既約分数)$,$ 分母と分子の和を半角数字で入力してください。

問題文

単位円状の3点P,Q,Rは重心が(1/3,0)となるように動く。三角形PQRの面積の最大値を求めよ

解答形式

例）ひらがなで入力してください。
答えのみ　数値をそのまま記入してください

問題文

n2^n+1が平方数となるような自然数nの総和を求めよ

解答形式

例）8と9→17
7のみ→7

数列 ${a_n}$ を、初項 $a_1 = 2$、漸化式
$
a_{n+1} = a_n^2 - a_n + 1 \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)
$
によって定める。このとき、以下の問いに答えよ。

(1)$p$ を $5$ 以上の素数とし、$k$ を整数とする。
合同式
$
x^2 + x + 1 \equiv 0 \pmod p
$
が整数解 $x = k$ を持つとき、$p \equiv 1 \pmod 3$ となることを証明せよ。

(2)任意の自然数 $n$ に対して、$a_n$ を割り切る素因数 $q$ は、$q = 2$、$q = 3$、または $q \equiv 1 \pmod 6$ のいずれかであることを示せ。
さらに、これを用いて「$p \equiv 1 \pmod 6$ を満たす素数 $p$ は無限に存在する」ことを証明せよ。

問題文

f(n)を、nを2,3,4…n-1進数で表したとき末尾に0が並ぶ個数の和であるとする。
（1）f(4000)を求めよ。
（2）nは2種類の素因数を持ち、指数が等しい。このとき、f(n)が奇数になる条件を述べよ。

解答形式

記述。

<問題文>

m,nを互いに素な自然数とし、f(n)はnの約数の個数を表し、g(n)はnの約数を全て掛け合わせた積を表す。このとき、 $$f(mn)=10 $$のとき、$${\log_{mn} g(mn)}を求めよ。$$

<解答形式>

・答えが分数になる場合は$$分子/分母$$と表記してください。
・回答する際は$$最大値,最初値$$と答えてください。
・マイナスは全角－で表記してください。
・$$\sqrt{x^2+x}$$などと√の内部の式が大きくなったり、二文字以上の数字の場合は $$√(数式や数値)$$と答えてください。
・$$\sqrt3$$など√内が一文字の数字の場合は$$√数字$$と回答してください。

問題文

実数x,yが$$2x+3y=π$$を満たす時、$$sin2x+cos3y $$の最大値と最小値を求めよ。

解答形式

・答えが分数になる場合は$$分子/分母$$と表記してください。
・回答する際は$$最大値,最初値$$と答えてください。
・マイナスは全角－で表記してください。
・$$\sqrt{x^2+x}$$などと√の内部の式が大きくなったり、二文字以上の数字の場合は $$√(数式や数値)$$と答えてください。
・$$\sqrt3$$など√内が一文字の数字の場合は$$√数字$$と回答してください。

問題文

正の整数の組 $(a, b)$ であって$,$ $a < b \leqq 2026$ かつ$$\mathrm{lcm}(a, b) - \gcd(a, b) = \frac{a + b}{2}$$を満たすものはいくつありますか。

解答形式

半角で数字のみ入力してください。

文字l,m,oによる3n文字の文字列を考えます。
この文字列に対して、次の操作をちょうど n 回行います。

・残っている文字列に対し、i<j<k を満たす正整数 i,j,k であって、
左から i 文字目が m、j 文字目が o、k 文字目が l であるものを 1 組選び、
その 3 文字を削除する。

最終的に文字列を空にすることができるような文字列の個数を​$a_{n}$とします。

例えば、molmol,momlol,momollなどは$a_{2}$の一部として数えられますが、
lmolom,mollom,mmloolなどはmol部分文字列を途中で取り出せなくなるため、$a_{2}$に含まれません。

$a_{n}≧6.02×10^{23}$となる最小のnを求めてください。

※ 数値計算に電卓を用いて構いません。

解答形式

半角で正整数を入力(空白なし)

問題文

$\left( \tan^3 20^\circ - \tan^3 40^\circ + \tan^3 80^\circ \right)^2 $ の値を求めよ。

解答形式

半角数字で解答してください.

問題文

正の整数 $n$ に対して, $f(n)$ を次のように定義する。
$$ f(n) = 1^3 + 2^3 + \cdots + (n-1)^3 + n^3 + (n-1)^3 + \cdots + 2^3 + 1^3 $$
$f(n)$ が平方数となるような正の整数 $n$ のうち, $1000$以下のものをすべて求めてください。

解答形式

答えは複数あるので, その総和を入力してください。

問題文

​自然数nと2つの正の数m、rに対して、関数 f(x) のグラフは、中心が (m, n) で半径が r の円 C の y≦n の部分（ただし、 m-r≦x≦m+r ）である。関数f(x)が次の条件を満たしている。
​（ア）方程式 f(x)=0 の異なる実数解の個数は2である。
（イ）方程式 f(x-3f(x))=0 の異なる実数解の個数は3である。
​曲線 y=f(x)上の点(10, 2)における接線の方程式が3x-y-28=0であるとき、 m+n+r²の値を求めよ。

解答形式

​自然数で入力してください。