数学の問題一覧

問題

グラフ$((\sqrt{\frac{9}{2\pi}-x^{2}}-\frac{3\sqrt{2\pi}}{2\pi})^{2}-y^{2})((\sqrt{\frac{9}{2\pi}-y^{2}}-\frac{3\sqrt{2\pi}}{2\pi})^{2}-x^{2})$と、$\sqrt{(x+y)^{2}}+\sqrt{(x-y)^{2}}=\frac{3\sqrt{2\pi}}{\pi}$がある。この2つのグラフの交点全てを通る円の面積を求めよ。

問題

1辺が$2$の$正方形ABCD$と$正三角形ADE$($辺AD$を共有し、$\angle EAB=150°$)がある。$EB$上に$点F$をとり、$点F$と、$点C$を結んだ。
そして、$\angle GFC=\angle HFC=120°$となる$点G$、$点H$をそれぞれ$辺EA,ED$上にとった。
このとき次の問いに答えよ。
ただし、$GF+HF+CF=2+\frac{4\sqrt{3}}{3}$とする。
(1)$\angle BFC=a°$とするとき、$a$の値を求めよ。

(2)$BE$の長さを$\sqrt{x}+\sqrt{y}$とするとき、$x+y$の値を求めよ。

(3)$点G,H,F$を通る円の面積は、次のようになる。
$$\frac{a+b\sqrt{c}}{d}\pi$$
このとき、$a,b,c,d$に当てはまる数を下の(1)~(10)から選んで答えよ。

(1)$2$
(2)$3$
(3)$5$
(4)$7$
(5)$9$
(6)$12$
(7)$15$
(8)$24$
(9)$52$
(10)$104$

解答形式

行ごとのジャッチのため、一行目に(1)の答えを、二行目に(2)の答えを、三行目に(3)の$a$に当てはまる数の番号を$\cdots $といった感じで計6行で答えてください。

問題文

$正方形ABCD$があり、4辺をそれぞれ斜辺とする3辺の比が$a:b:c(a\leq b\leq c)$の直角三角形$(△ABH,△BCE,△CDF△DAG)$をそれぞれ重ならないように配置する。正方形の対角線$AC,BD$の交点を$I$とする。$AG$と$ID$の交点を$点J$、$FD$と$IC$の交点を$点K$としたとき、$△JGD$の面積が、$図形AKDJ(△AKD-△AJD)$の面積の$\frac{1}{4}$となった。このとき、$\angle IJG$の大きさを求めよ。

解答形式

$\angle IJG=$と°は要りません。

問題

$\sqrt{(1+3+5+\cdots +(2n-5))(1+3+5+\cdots +(2n-3))(1+3+5+\cdots +(2n-1))(1+3+5+\cdots +(2n+1))(1+3+5+\cdots +(2n+3))}=95040$この方程式の$n$の自然数解を求めよ。

解答形式

$n=$は書かなくてよいです。

問題文

曲線Cは
$$\sqrt{x+\sqrt y}=1$$
と表される。曲線Cとx軸とx=m(m：整数)で囲まれた領域をDとし、領域Dの内部と周囲にある格子点の個数をT(m)としたとき、$$\lim_{m\to-\infty}\frac{T(m)}{-m^3}$$の値を求めよ。

解答形式

・答えが分数になる場合は$$分子/分母$$と表記してください。
・マイナスは全角－で表記してください。
・$$\sqrt{x^2+x}$$などと√の内部の式が大きくなったり、二文字以上の数字の場合は $$√(数式や数値)$$と答えてください。
・$$\sqrt3$$など√内が一文字の数字の場合は$$√数字$$と回答してください。

$問題$

$x>0$とし、$$\frac{(x^{3}+x^{2}-x-1)(1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots +x^{2^{x}-1})(2+4+6+8+\cdots +2x)^{2}}{(x^{2^{x}}-1)(1+2+3+\cdots +x)(\sqrt{1+3+5+\cdots +(2x+1)})} $$を簡単にしたものを$f(x)$とする。
このとき、$f(-10)$の値を求めよ。

次の積分の値を求めよ．
$$
I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log(1+\sin x+\cos x)\,dx
$$ただし，$\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{4}\log\left(\frac{1}{\tan x}\right)\,dx=G$ とする.

問題

$$y=(1+3+5+\cdots +(2x+1))$$と、$$y=(2x+4x+6x+\cdots +(2x^{2}))+x-5$$の交点を求めよ。ただし、$x>0$とする。

解答形式

$x,y$が共に自然数となる$(x,y)$のときの$xy$の値を求めてください。

1=0
2=0
3=0
4=4
6=8

上記の条件が成り立つとき、次の「X」がとりうる最大値を答えよ。

5＝X

回答形式　数値を入力してください

問題

$x^{6}=55-12\sqrt{21}$の正の実数解を求めよ。

解答形式

少数第3位まで求めてください。

問題文

$(1)\ \tan\theta\sin2\theta\text{を}\cos2\theta\text{の式で表せ。}$

$(2)\ \tan\left(\frac{\pi}{24}\right)\text{を求めよ。}$

$(3)\ \pi<3.144\text{であることを証明せよ。}$

$\text{必要であれば，}\sqrt{2}<1.414,$

$\ \sqrt{3}>1.732,\ \sqrt{6}<2.449
\text{を使ってよい。}$

解答形式

記述式。明らかな飛躍や論理の破綻はダメヨ。

問題

$n$を自然数とし、$$1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{2^{n}-1}$$を因数分解したときの因数の数を$n$を用いて求めよ。